Exercice sur la fonction exponentielle

[Lachimiecphysique]

Bonjour j’ai besoin de votre aide pour l’exercice suivant:
Nous avons ici 2 courbes nommés respectivement C1 et C2. Ces dernières donnent la concentration C (g/litre) d’alcool dans le sang de 2 personnes P1 et P2 en fonction du temps t (en heure) qui correspond à l’indigestion de l’alcool concerné



Questions:

1) Nous avons ici une fonction C définie sur [0;+oo[ pour tout R t est supérieur à 0.
C’(t) correspond à la vitesse d’apparition de cette alcool dans le sang. À quel instant cette vitesse est maximale ?

2) Dites à l’aide du graphique la personne avec la plus faible corpulence (Indice: les personnes de faibles corpulences subissent plus vite l’alcool !)

3) On suppose maintenant que le taux d’alcool d’une personne en fonction de t en heure est déduit par la fonction C(t)=2t*e^-t avec t qui appartient à [0;12]. Construisez maintenant un tableau de variations de C sur [0;12].

4) Déterminez quand le taux d’alcoolémie de la personne concerné est maximal et à quoi correspond sa valeur

5) Le Code de la route interdit aux jeunes n’importe quelle conduite d’un véhicule quand le taux est supérieur ou égal à 0,2 g/L. Supposez quand Léo (qui est un jeune 18 ans ) reprend une valeur conforme à la législation dans le domaine de l’alcoolémie après avoir bu de l’alcool ? L’alcool est à consommer avec modération !

Mes réponses

1) C1: Pour t= 1h quand C= 1,125 g/L
C2: Pour t= 1h quand C= 0,75 g/L
2) Je dirais logiquement C2
3) Ici je suppose qu’il faut trouver f’(t) donc:
f’(t)= 2*e^-t+ 2^t*e^-t
f’(t) = (2*2^t)e^-t ? Je suis bloqué ici j’ai l’impression que c’est faux....
4)Je pense qu’il faut s’aider du tableau de variations...
5) ?

Merci pour votre aide
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[jacknicklaus]

1) C1: Pour t= 1h quand C= 1,125 g/L
C2: Pour t= 1h quand C= 0,75 g/L
2) Je dirais logiquement C2
3) Ici je suppose qu’il faut trouver f’(t) donc:
f’(t)= 2*e^-t+ 2^t*e^-t
f’(t) = (2*2^t)e^-t ? Je suis bloqué ici j’ai l’impression que c’est faux....
4)Je pense qu’il faut s’aider du tableau de variations...
5) ?

1) faux. tu as répondu pour C(t) maximal. Or on te demande C'(t), c'est à dire la pente de C(t)
2) faux.
3) faux. l'erreur est au niveau de la dérivée de e^-t
4) il faut faire un tableau de variation !
5) pas clair pour moi non plus. Je suppose que Léo est la même personne que dans 3 et 4. Faut juste sortir la calculatrice.


PS
blague à part, j'ai bien ri sur les multiples fautes de français de ton énoncé. La meilleure est sans doute [I] l’indigestion de l’alcool concerné [/I. C'était comme çà dans l'énoncé de ton prof ?

[Lachimiecphysique]

Bonsoir merci pour votre réponse

1) C’est triste à dire mais je ne vois pas à quoi correspond la pente de C(t)...
2) C1 mais je comprends pas pourquoi (pour moi la logique est inverse)
3) Je ne vois pas mon erreur, que voulez vous dire par ‘’ au niveau de la dérivée de e^-t’’

Ps: Pour l’énoncé il était représenté comme ceci, après c’est peut-être moi qui a des méchantes fautes...

[gg0]

Bonjour.

La pente d'une droite est son coefficient directeur (le a de son équation y=ax+b). Plus la pente est grande, plus ça monte vite (dans la vie aussi !). la pente d'une courbe correspond à la même idée, et est la pente de la tangente en ce point à la courbe (le reste est dans ton cours).
La question 2 se résout avec le résultat de la question 1.
Pourquoi ce 2^t dans l'expression de la dérivée ? Quelle est la dérivée de exp(at) ?

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

1) C’est triste à dire mais je ne vois pas à quoi correspond la pente de C(t)...

La pente d'une courbe, c'est comme la pente dans la vraie vie. En ballade en montagne, ca mesure de combien tu montes (en altitude) quand tu te déplaces vers l'avant (selon ta carte). Quand tu montes une colline au début la pente est plus ou moins forte, puis au sommet de la colline la pente est nulle, puis quand tu redescends dans la vallée la pente est négative. Regarde la courbe C1, tu vois que ca monte, (pente positive), puis la pente diminue jusqu'à devenir nulle au sommet de la courbe) puis devient négative. Regarde attentivement la courbe C1 et demande toi à quel moment la pente est maximale. Si c'était une vraie colline, à quel moment aurait le plus de peine à monter ?

2) C1 mais je comprends pas pourquoi (pour moi la logique est inverse)

Lire l'énoncé Indice: les personnes de faibles corpulences subissent plus vite l’alcool !
traduction : le taux d'alcool monte plus vite et plus haut pour les gringalets.

3) Je ne vois pas mon erreur, que voulez vous dire par ‘’ au niveau de la dérivée de e^-t’’

ben ce que je veux dire c'est que ton calcul est faux.

tu dois dériver une fonction f(t) = 2t.e^-t.
donc c'est la forme f(t) = u(t).v(t) et tu vas utiliser (uv)' = u'.v + u.v'; où u = 2t et v = e^-t.

Vas -y, décompose. C'est ton exercice. Le 1er terme est bon, le u'v est bien égal à 2.e^-t.
Le deuxième terme que tu donnes (2^t.e^-t) c'est n'importe quoi.

[Lachimiecphysique]

D’accord merci
Pour les questions 1 et 2 c’est bon, voici ce que j’ai fait pour la 3):
C(t) = 2t*e^-t donc on a ici une forme (uv)’x alors:
C’(t)= 2*e^-t+2t*(-1/e^t)
Donc C’(t)= 2(e^-t+t*(-1/e^t))
Donc C’(t)=2(e^-t-t*(1/e^t))
On a donc C’(t)= 2(e^-t-(t/e^t)) ??

Merci

[gg0]

Pourquoi passer à des /e^t ? tu peux n'utiliser que la notation e^-t et tu pourras plus facilement factoriser pour trouver le signe de C' (c'est le but !!).

[Lachimiecphysique]

Bonsoir merci pour votre j’ai cherché et rectifié, voici ce que j’ai mis:

3) C’(t) = 2e^-t*(1+t) où C sur ]-oo;+oo[ s’annule en -1, pour C sur [0;12] j’ai donc construit un tableau de variations où f’(x) est strictement positif et f(x) est strictement croissant.

4) Pour répondre à cette question j’ai regardé la représentation graphique de C(t) et je constate un maximum en 1h avec pour valeur 0,7357 g/litre

5) Je me suis aidé de C (t) et je suppose que C (t) est égal ou en dessous de 0,2 g/L en dessous de x=3,577 où C(3,577)= 2*3,577*e^-3,577= 0,2. Je déduis que x=3,577 correspond à 3h35....

Est-ce correcte ?
Merci pour votre aide

[gg0]

Tu crois sérieusement qu'une fonction "strictement croissant" sur [0;12] peut avoir un maximum en 1 (1h) ????
Pourquoi cette erreur encore sur f'(x) d'où un tableau faux ?
Ensuite, comment es-tu sûr que le maximum est en 1 et pas en 1,002 ??

Bon, il serait temps que tu arrêtes de faire n'importe quoi. Si ta fonction est croissante, sa courbe n'est pas celle de l'énoncé. Utilise un peu ton cerveau, pense !

Pour la question 5, OK.

Cordialement.

[jacknicklaus]

On a donc C’(t)= 2(e^-t-(t/e^t)) ??

Ca c'est bon, mais tu dois simplifier l'écriture

3) C’(t) = 2e^-t*(1+t)

ca c'est faux. Tu fais des erreurs d'inattention.