Problème à résoudre sur les probabilités.

[shisha]

Bonjour,

Je me pose la question de comment on ferait si on voulait calculer la probabilité suivante :
Il y a deux milles boules dont 124 noires, on divise les 2000 boules en 2 tas de 1000 boules.

Admettons que nous réalisions deux fois l’exercice, comment calculer la probabilité?

- Expérience 1, résultat obtenu :
12 boules noires pour le premier tas et 112 boules noire pour le 2 eme tas.

- Résultat de l'expérience 2 :
60 boules noires pour le premier tas et 64 boules noires pour le second tas.

Intuitivement, je me dis que les résultats de la première expérience est très improbable, à contrario ceux de la seconde, beaucoup + probable.

Observer qu'il y a 9.33 fois plus de boules noires dans le second tas de la première expérience par rapport au premier tas et utiliser ce chiffre pour calculer une proba?
=> Par exemple, 0.5^9= 0.2% ?

Ou bien faut il calculer l'écart type malgré le fait que nous ayons uniquement 2 expériences? Si oui comment? Comme çà : ?
62-12=50
62-112=-50

(2500+2500)/(124-1)= 40.65
Ecart type = V40.65=6.38 ?

Si oui comment utiliser l'écart type pour connaître les probas?


Merci
-----

[gg0]

Bonjour.

Si les 1000 boules du premier tas sont prises au hasard, on sait calculer la probabilité qu'il y en ait dans ce tas 12, ou 60, ou n'importe quel nombre entre 0 et 124. C'est la loi hypergéométrique qui donne ces probabilités : environ 0,0000000000000000000000538 pour 12 et 0,6896 pour 60.

Pour la suite de ton message, je ne comprends pas grand chose à ce que tu racontes, ça ressemble à des calculs faits sans raison. Tu parles même d'écart type sans qu'on sache de quoi. Apparemment, tu imites un calcul sans savoir, tu calcules l'écart type de la série 12, 112, mais ça n'a pas de sens (tu utilises deux fois la même valeur 12, elle-même et pour calculer 112, donc tu n'as pas 2 valeurs).

Mon conseil : Évite de faire n'importe quoi en probabilités et statistiques, apprends ces deux disciplines pour pouvoir en parler sainement.

Cordialement.

[shisha]

Merci de ta réponse

[shisha]

Serait-il possible de détailler le calcul svp?

Je m'embrouille avec toute les lettres de la formule que l'on retrouve dans le lien, je pense que je comprendrai d'avantage en voyant les chiffres.

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Il te suffit d'identifier les lettres :
A c'est le nombre d'individus de la population totale; A =
n est la taille de l'échantillon tiré; n =
p est la probabilité d'avoir un individu ayant le caractère voulu, donc dans un tirage au hasard, la proportion de ces individus, dans ton cas (caractère : noire) 124/2000
q est la probabilité contraire.

Par contre, il est inenvisageable de faire ces calculs à la main. J'ai utilisé un logiciel de calcul formel, capable de manipuler des nombres avec des milliers de chiffres exact, de simplifier des fractions, et autres opération, puis fait un calcul approché du résultat.

[shisha]

Ok merci

Il me semble que c'est votre anniversaire, donc joyeux anniversaire!

[gg0]

Ah non, ce n'est pas mon anniversaire (ni même celui de mon inscription sur Futura), mais merci quand même.

[shisha]

Ok dsl je croyais avoir lu 69 ans hier.

A c'est le nombre d'individus de la population totale;
donc A = 2000 je crois
n est la taille de l'échantillon tiré
Donc n = 1000 je crois
p= 124/2000 ou 62/1000

Et k est le résultat de l'expérience, par exemple dans notre exemple ici présent, 12?

Dernière petite question, dans la formule principale du lien wiki de la loi hypergéométrique, il y a plusieurs chiffres dans les petites parenthèses et certains se trouvent en dessous, par exemple k se trouve en dessous de pA. Que signifie cet "en dessous", c'est une division?

[gg0]

Ces notations avec deux nombres entre parenthèse sont des coefficients binomiaux :

où le symbole ! est celui de la factorielle :



Les factorielles augmentent très vite, et par exemple 1000! est un nombre de 2568 chiffres.

Un calcul simplifié des coefficients binomiaux est

Il y a autant de nombres en haut qu'en bas.
Avec des n du genre 2000, tu vois qu'on ne fera pas le calcul à la main !

Question : pourquoi veux-tu traiter cette question ? C'est un exercice en classe, ou une idée qui t'est venue ?

[shisha]

Avec des n du genre 2000, tu vois qu'on ne fera pas le calcul à la main !

En effet ^^

pourquoi veux-tu traiter cette question ? C'est un exercice en classe, ou une idée qui t'est venue ?

C'était par rapport au covid19 et + précisément le bateau de croisière du Diamond Princess.
Il y a eu 12 morts pour 712 cas infectés (taux de létalité de 1.68), or la majorité des personnes infectés avaient plus de 60 ans.
Dans mes calculs de ci-dessous, je constate que si on avait appliqué le taux de mortalité moyen (tableau de ci-dessous) en fonction de l'âge alors on aurait eu beaucoup + de mort. Ensuite j'ai essayé de voir la probabilité pour qu'un tel écart puisse avoir lieu (le topic ici présent).
En extrapolant la situation du Princess Diamond (ce qui n'est peut-être pas très pertinent car la population du Diamond est probablement + aisée et en meilleur santé que la moyenne mais cela reste intéressant à mes yeux) je trouve un taux de létalité moyen proche de 0,40 .


Les calculs et infos :
https://www.eurosurveillance.org/con....25.10.2000180 étude par rapport au Diamond Princess
En prenant ces tableaux de mortalités (https://ici.radio-canada.ca/nouvelle/16 ... -mortalite), 15% pour les + de 80 ans, 8% pour les + de 70 ans, 3.6% pour les + de 60 ans et 1.3% pour les + de 50 ans, le nombre de mort dans ce bateau, aurait du être en moyenne pour ces 634 cas contaminées :
- Pour les plus de 80 ans : 11
- Pour les plus de 70 ans : 20
- Pour les plus de 60 ans : 6
- Pour les plus de 50 ans : arrondi à 1

Soit un total de 38 ou 3.17 fois plus que 12.
Si on ajoute les 78 cas contaminés (de 634 à à 712) alors, "on aurait du avoir", 43 morts.

Si on appliquait les morts réels du Diamond et qu'on les mettait avec les tableaux de mortalité en fonction de l'âge on aurait un taux de 0.47.

Maintenant si on prend en compte la non fiabilité du test (d'après "Le virologue Vincent Thibault, évoque quant à lui une fiabilité de l’ordre de 70%. Il est donc possible d’être testé négatif tout en étant contaminé. C'est ce qu'on appelle les faux négatifs."), cela aurait du faire 43*1.43= 62 morts. (ou 5.166 fois plus de mort par rapport à 12).

Et d'après le tableau de répartition de mortalité en fonction de l'âge de radio canada, le taux de létalité moyen est de 2.12 (0.148*3+0.08*8,8+0.036*19.2+0 .013*22.4+0.01*0.47 = 0.44 +0.7 + 0.69 + 0.29 + 0.005 = 2.12).

2.12/5.166=0.41

Du coup le taux de létalité moyen du bateau du Japon "sans le biais de l'age" serait donc de : 0.41


Après par rapport aux probas de ce topic et la loi hypergéométrique, je ne connaissais pas donc merci pour les infos.

[ansset]

C'est la loi hypergéométrique qui donne ces probabilités : environ 0,0000000000000000000000538 pour 12 et 0,6896 pour 60.

On retrouve 5,38 10^(-23) avec la formule de stirling. ( et qcq lignes excel )

[ansset]

post #10

Se méfier en manipulant les chiffres.
déjà une remarque , il s'est avéré qu'env 20% des cas du Diamond Princess était asymptomatiques.
donc ils rentrent dans la case des "infectés" à postériori , mais certainement pas dans l'étude en % canadienne.
( étude dont on ne peut ouvrir le lien ).
on peut supposer aussi d'autres biais de lecture.

[shisha]

déjà une remarque , il s'est avéré qu'env 20% des cas du Diamond Princess était asymptomatiques.

Merci pour la remarque. En prenant en compte cette remarque, on resterait tout de même autour de 0.4 ou 0.5 il me semble.

Je remets le lien des tableaux du canada (cette fois ci, il fonctionne) : https://ici.radio-canada.ca/nouvelle...eaux-mortalite

Sinon pour revenir aux probabilités, j'aimerais bien réussir à trouver en changeant le problème pourqu'il devienne "plus simple".

Par exemple, il y a 8 boules au total dont 2 boules noires. On tire 4 boules, et je vais essayer de calculer les cas de figures suivants :

- probabilité de trouver 0 boule noire. (résultat 1)
- probabilité de trouver 1 boule noire. (résultat 2)
- probabilité de trouver 2 boules noires. (résultat 3)

Même en appliquant la formule de manière bête et méchante, j'éprouve de la difficulté.

A = 8 = nombre de boules total
n = 4 = le tirage
p = 0.25, probabilité de trouver une boule noire sur A.

Déjà quand je part pour P(k=0) (résultat 1), je bug déjà car dans tes images où il y a les factorielles entre parenthèses, il y a également des divisions, or quelque chose que l'on divise par 0 donnera forcément 0, donc d’emblée je me trompe quelque part.

[shisha]

rectification
p =0.25, probabilité de trouver 2 boules noires sur A

1ere partie du calcul si j'ai bien compris :
(pA!/k!)
Et comme je disais ci-dessus, si k=0 alors le résultat donne zéro.

[ansset]

je ne comprend pas tes calculs.
d'abord sache que 0!=1 et pas 0
voyons ton exercice
8 boules dont 2 noires et 6 ( blanches par ex )
on en tire 4
une proba =nb de combinaisons possibles/nb de combinaisons totales.
le nb de combinaisons totales est noté aussi
( rappel )
donc

-cas 0 boules noires, donc on tire les 4 boules parmi les 6 blanches
il y a poss soit 6!/(4!2!)=15
P(X=0)=15/70

-cas 1 boule noire donc 3 blanches
il faut choisir la boules noire parmi 2 et 3 boules blanches parmi 6, soit en combinaisons

P(X=1)=40/70

-cas 2 boules noires , 2 boules blanches

P(X=2)=15/70.

tu remarquera que la somme des probas vaut bien 1.

[shisha]

Merci pour ta réponse,

Si on ne m'avait pas parlé de cette formule, j'aurais fais de la manière suivante :
Pour x = 0

= 1/6 + 1/6*1/5 + 1/6*1/5*1/4 + 1/6*1/5*1/4*1/3
= 15/72
= 20.83%

Toi tu trouves 15/70= 21,43%

Je regarderai demain d'avantage tes chiffres.

Bonne soirée

[shisha]

Super, j'ai réussi à trouver le même résultat que toi juste en essayant d'être logique (ce qui me permettra peut-être de comprendre par la suite la formule de la loi hypergéométrique) :

Probabilité pour que 0 boule noire soit tirée si 1 boule tirée :
=6/8
Probabilité pour que 0 boule noire soit tirée si 2 boules tirées :
= 6/8 * 5/7
Probabilité pour que 0 boule noire soit tirée si 3 boules tirées:
= 6/8 * 5/7 * 4/6
Probabilité pour que 0 boule noire soit tirée si 4 boules tirées
= 6/8 * 5/7 * 4/6 * 3/5
= 21,43

[shisha]

Par rapport au factoriels et loi hypergéométrique et ton dernier message:

Pour commencer, je trouve pas forcément facile d'affirmer que le nombre de combinaison total pour 8 boules est :
1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320

J'aurais certainement fais l'erreur de trouver 8*8=64 ou bien 99 999 999 mais cela ne m'aurais pas venu à l'esprit naturellement de faire 1*2*3*4*5*6*7*8. Vais essayer de comprendre le truck.

[ansset]

Je trouve pas forcément facile d'affirmer que le nombre de combinaison total pour 8 boules est :
1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320

?????
le nb de combinaison de quoi dans ce cas.?
8! correspond aux nb de façons différentes d'aligner 8 boules.
on nomme ça nb d'arrangements.

tu devrais plutôt faire un peu de lecture sur les arrangements et combinaisons, plutôt que d'essayer de tout retrouver seul.

[shisha]

Par rapport au facotirels et loi hypergéométrique :

Je trouve pas forcément facile d'affirmer que le nombre de combinaison total pour 8 boules est :
1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320

J'aurais certainement fais l'erreur de trouver 8*8=64 ou bien 99 999 999 mais cela ne m'aurais pas venu à l'esprit naturellement de faire 1*2*3*4*5*6*7*8. Vais essayer de comprendre le truck.

[shisha]

Pour le nombre de combinaison total, c'est bon j'ai compris le truck.

edit : J'avais pas vu ton message

[gg0]

Une remarque sur l'origine de la question : Il est toujours délicat de traiter par les probabilités un événement unique. Même si ce cas peut sembler improbable, il peut arriver. Et quand on utilise des modèles, il faut éviter de les transférer ailleurs. Par exemple, le modèle européen (France, Espagne Italie) donne 60 000 morts pour 174 millions d'habitants, en gros 1 pour 3000 habitants. Appliqué à la Chine, il donne 467 000 de morts. Si c'était vrai, ça se saurait !!

Finalement, Shisha, ça te donne une bonne motivation pour étudier les probabilités et vraiment réfléchir à ce qu'on y fait, c'est très bien !

Cordialement.

[shisha]

Ansset dit :

8! correspond aux nb de façons différentes d'aligner 8 boules.
on nomme ça nb d'arrangements.

tu devrais plutôt faire un peu de lecture sur les arrangements et combinaisons, plutôt que d'essayer de tout retrouver seul.

Ok merci pour la précision car sinon j'aurais pensé que c'était la même chose (arrangements et combinaisons)

Je vais voir si je peux trouver quelques lectures sur le net (et surtout des exos), après j'espère que je finirai par moi même de trouver la formule plutôt que de juste l'appliquer car sinon j'aurais l’impression de ne pas avoir compris le truck.

Ggo dit :

Finalement, Shisha, ça te donne une bonne motivation pour étudier les probabilités et vraiment réfléchir à ce qu'on y fait, c'est très bien !

Merci !

[jacknicklaus]

@shisha:

truck = mot anglais signifiant camion

truc = mot français