Un peu de probabilités : jets de 7 dés à 12 faces, probabilités de paires

[Sophie DLJ]

Bonjour à tous !
Cela fait trois-quatre jours que je me casse la tête sur un problème de proba qui au départ me semblait simple. Je m'étais réjouie de trouver des résultats... Mais quand je les ai confrontés à l'expérience et là, ça a été le drame. (info inutile : ce n'est pas pour un exercice de maths ou de physique... Mais pour un roman. Vous avez dit bizarre ?)

Je ne suis même pas sûre que ce soit du niveau lycée, mais bon, je tente quand même ici.

On imagine un jet de 7 dés à 12 faces. Les questions sont simples : quelles sont les probabilités d'avoir :
_ que des nombres différents ? => j'ai trouvé 11% environ, ce qui correspond à mes simulations : combinaison C(12,7) x 7!)
_ une paire (exclusivement) ? => 1ère tentative à l'arrache j'ai calculé 39%, mes simulations me donnent un résultat un peu moins élevé. 2ème tentative : 30%, mais avec un bidouillage tel que j'ai honte de vous le montrer.
_ deux paires (exclusivement) ? => j'ai trouvé initialement 9%... Mes simulations tournent plutôt autour de 30%, donc je me suis royalement plantée.
Et puis, toutes les autres configurations : triplet, triplet double, triplet + paire, triplet + 2 paires, quadruplet, etc. jusqu'à heptuplet.

Si vous pouviez me donner une marche à suivre suffisamment détaillée pour calculer les cas 1 paire et 2 paires, je pense que je pourrai m'en sortir avec les suivants.

D'avance merci !

Sophie
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[jacknicklaus]

7 dés tous différents : nbre de cas favorables = 12!/(5!) = 12x11x10x9x8x7x6
En divisant par 12^7 on trouve 11%

je note Cnp(x,y) le nombre de combinaisons de y nombres pris parmi x

Une paire : nbre de cas favorables = Cnp(7,2)*Cnp(12,1)*(11!)/(6!)
Cnp(7,2) : nbre de choix de positions de la paire parmi les 7 dés
Cnp(12,1) ! nbre de choix de valeurs pour la paire
11!/6! = nbre de choix pour 5 dés tous différents entre eux et différent de la valeur pour la paire (reste donc 11 valeurs libres pour chacun des 5 dés)
En divisant par 12^7 on trouve 39%


Deux paires : nbre de cas favorables Cnp(7,2)*Cnp(5,2)*Cnp(12,2)*10 !/7!
Cnp(7,2) : nbre de choix de positions de la 1ère paire parmi les 7 dés
Cnp(5,2) : nbre de choix de positions de la 2ème paire parmi les 5 dés restants
Cnp(12,2) : nbre de choix de valeurs pour les 2 paires
10!/7! = nbre de choix pour 3 dés restants, tous différents entre eux et différent des deux valeurs des paires (reste donc 10 valeurs libres pour chacun des 3 dés)
En divisant par 12^7 on trouve 28%

[Sophie DLJ]

Merci beaucoup Jacknicklaus !

Pour les 7 dés différents et la paire, c'est ce que j'avais fait (en gros et en moins rigoureux)...

Pour les 2 paires, je tournais autour de la solution sans jamais mettre le doigt dessus, par manque de rigueur crasse. J'essayais en plus d'ajouter à cela un nbre de choix de position pour les 3 dés restants (la boulet), c'était le foutoir dans mon crâne !
En tout cas, merci à toi, je vais pouvoir me relancer sur de bonnes bases !

Bonne soirée à vous !

[Sophie DLJ]

Re !

Alors, j'ai fait mes calculs consciencieusement... Puis je les ai refaits... Et, si mes résultats semblent plus proches de la réalité, j'ai toujours un soucis.

7 dés à 12 faces, ça fait 12^7 possibilités (soit 35 831 808)
Je cherchais à calculer les probabilités d'apparitions de toutes les figures possibles, j'en ai comptabilisé 15 :
7 dés différents : X-X-X-X-X-X-X
1 paire : A-A-X-X-X-X-X
2 paires : A-A-B-B-X-X-X
3 paires : A-A-B-B-C-C-X
1 triplet : A-A-A-X-X-X-X
1 triplet + 1 paire : A-A-A-B-B-X-X
1 triplet + 2 paires : A-A-A-B-B-C-C
2 triplets : A-A-A-B-B-B-X
1 quadruplet : A-A-A-A-A-X-X
1 quadruplet + 1 paire : A-A-A-A-B-B-X
1 quadruplet + 1 triplet : A-A-A-A-B-B-B
1 quintuplet : A-A-A-A-A-X-X
1 quintuplet + 1 paire : A-A-A-A-A-B-B
1 sextuplet : A-A-A-A-A-A-X
1 heptuplet : A-A-A-A-A-A-A

Quand je calcule le nombre de combinaisons pour chaque figure et que je les additionne, je n'arrive pas 12^7.

Alors, soit j'ai oublié des figures (mais je ne crois pas), soit je me suis embrouillée dans mes calculs.
Je pense que si c'est le cas, ce serait sur les 2 calculs suivants qui ont peut-être une subtilité qui m'échappe.
Pouvez-vous me dire si je me suis plantée, s'il vous plaît ? (j'ai détaillé le plus possible)

Voici ce que j'ai fait pour 3 paires : A-A-B-B-C-C-X
_ Nombre de choix de valeurs possibles pour 3 paires : C(12,3) = 220
_ Nombre de positions possibles pour la 1ère paire : C(7,2) = 21
_ Nombre de positions possibles pour la 2ème paire : C(5,2) = 10
_ Nombre de positions possibles pour la 3ème paire : C(3,2) = 3
_ Nombre de choix de valeur possible pour le dernier dé : 9
=> C(12,3) x C(7,2) x C(5,2) x C(3,2) x 9 = 220 x 21 x 10 x 3 x 9 = 1 247 400
=> Pourcentage : 1247400 x 100 / 12^7 = 3,48 %

Pour 1 triplet et 2 paires : A-A-A-B-B-C-C
_ Nombre de choix de valeurs possibles pour le triplet et les 2 paires : C(12,3) = 220
_ Nombre de positions possibles pour le triplet : C(7,3) = 35
_ Nombre de positions possibles pour la 1ère paire : C(4,2) = 6
_ Nombre de positions possibles pour la 2ème paire : C(2,2) = 1
=> C(12,3) x C(7,3) x C(4,2) x C(2,2) = 220 x 35 X 6 X 1 = 46 200
_ Pourcentage : 46200 x 100 / 12^7 = 0,129 %

D'avance merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

Pour 1 triplet et 2 paires : A-A-A-B-B-C-C
_ Nombre de choix de valeurs possibles pour le triplet et les 2 paires : C(12,3) = 220
_ Nombre de positions possibles pour le triplet : C(7,3) = 35
_ Nombre de positions possibles pour la 1ère paire : C(4,2) = 6
_ Nombre de positions possibles pour la 2ème paire : C(2,2) = 1
=> C(12,3) x C(7,3) x C(4,2) x C(2,2) = 220 x 35 X 6 X 1 = 46 200

ca c'est faux. le bon résultat est Cnp(7,2)*Cnp(5,2)*Cnp(12,2)*An p(10,1)

Cnp(7,2) : on place la 1ère paire, reste 5 dés
Cnp(5,2) : on place la 2ème paire, reste 3 dés, donc le triplé est déjà placé
Cnp(12,2) : valeurs possibles (2 parmi 12) sur les 2 paires. C'est un Cnp et non Anp car on ne distingue pas les 2 paires (11 22 pareil que 22 11)
Anp(10,1) : valeurs possibles pour le triple.

J'ai fait le boulot sur les 15 cas et vérifié qu'on retombe bien sur 12^7. petit programme facile à lire :

s = 0
// 7 différents
k = Anp(12,7)
s += k

// 5 différents, une paire
k = Cnp(7,2)*12*Anp(11,5)
s += k

//4 différents, 1 triple
k = Cnp(7,3)*12*Anp(11,4)
s += k

//3 diff,  2 paires
k = Cnp(7,2)*Cnp(5,2)*Cnp(12,2)*Anp(10,3)
s += k

//3 diff,  1 quadruplet
k = Cnp(7,4)*12*Anp(11,3)
s += k

//2 diffs 1 quintuple 
k = Cnp(7,5)*12*Anp(11,2)
s += k

//2 diffs, 1 paire, 1 triple, 
k = Cnp(7,2)*Cnp(5,3)*Anp(12,2)*Anp(10,2)
s += k

//1 diff, 3 paires
k = Cnp(7,2)*Cnp(5,2)*Cnp(3,2)*Cnp(12,3)*Anp(9,1)
s += k

//1 diff, 1 quadruple, 1 paire
k = Cnp(7,4)*Cnp(3,2)*Anp(12,2)*Anp(10,1)
s += k

//1 diff, 2 triples
k = Cnp(7,3)*Cnp(4,3)*Cnp(12,2)*Anp(10,1)
s += k

//1 diffs 1 sextuple 
k = Cnp(7,6)*12*Anp(11,1)
s += k

//0 diffs, 2 paires 1 triple
k = Cnp(7,2)*Cnp(5,2)*Cnp(12,2)*Anp(10,1)
s += k

//0 diffs, 1 quadruple, 1 triple
k = Cnp(7,4)*Cnp(3,3)*Anp(12,2)
s += k

//0 diffs, 1 quintuple, 1 paire
k = Cnp(7,5)*Cnp(2,2)*Anp(12,2)
s += k

//0 diffs, 1 septuple
k = 12
s += k

//contrôle
Message("%z %z",12^7,s)

[Sophie DLJ]

C'était bien une subtilité qui m'échappait !
Un grand merci à vous pour tout ce boulot abattu, c'est vraiment très gentil d'avoir pris de votre temps pour me venir en aide... Maintenant, je vais devoir digérer tout ça pour bien assimiler l'essence de mon erreur.

Bonne soirée à vous !

Sophie

[jacknicklaus]

La simulation conforte les calculs. Ci dessous, en 1ère colonne, les cas observés sur 10.000.000 de jets des 7 dés. En 2ème colonne, les valeurs espérées par calcul.

Rien                     1114820    1114004
1 paire                  3895784    3899016
1 triple                  929917     928337
1 quadruple               115854     116042
1 quintuple                 7719       7736
1 sextuple                   227        257
1 septuple                     4          3
2 paires                 2786922    2785011
1 paire, 1 triple         694911     696252
1 paire, 1 quadruple       38798      38680
1 paire, 1 quintuple         769        773
2 triples                  25868      25787
1 triple, 1 quadruple       1292       1289
3 paires                  348277     348126
2 paires, 1 triple         38838      38680
Somme de contrôle       10000000

[Sophie DLJ]

Et c'est là qu'on se dit que c'est quand même beau les maths !