Maths terminale S Probabilité à densité

[Farah2002]

Bonjour je suis élève en terminale S, et je m'entraîne sur un exercice. Seulement je n'arrive pas à le terminer donc si quelqu'un pourrait m'aider ce serait sympa.
1.Le directeur d’un camping vient de s’équiper d’un distributeur de glaces à l’italienne.
La durée, en mois, de fonctionnement sans panne de son distributeur de glaces à l’italienne est modélisée par une variable aléatoire X
qui suit une loi exponentielle de paramètre λ où λ est un réel strictement positif.
On rappelle que la fonction f de densité de la loi exponentielle est donnée sur [0 ; +∞[ par f(x) = λe−λx
.
Le vendeur de l’appareil assure que la durée moyenne de fonctionnement sans panne de ce type de distributeur, c’est-à-dire
l’espérance mathématique de X, est de 10 mois.
a.Justifier que λ = 0,1.
b.Calculer la probabilité que le distributeur de glaces à l’italienne n’ait connu aucune panne pendant les six premiers mois.
(Vous calculerez cette probabilité à l’aide d’une une intégrale.)
c.Sachant que le distributeur n’a connu aucune panne pendant les six premiers mois, quelle est la probabilité qu’il n’en connaisse
aucune jusqu’à la fin de la première année? Justifier.
d.Le directeur du camping remplacera son distributeur de glaces à l’italienne au bout d’un temps t, exprimé en mois, qui vérifie que la
probabilité de l’évènement (X > t) est égale à 0,05.
Déterminer la valeur de t arrondie à l’entier.
2.Le temps d’attente, en secondes, d’un client du camping pour se faire servir une glace définit une variable aléatoire T qui suit la loi
uniforme sur l’intervalle [10 ; 90].
a.Donner l’expression de la fonction g de densité de la loi de T.
b.Quel est le temps d’attente moyen d’un client ?
c.Calculer la probabilité qu’un client attende plus d’une minute.
3.M. Ducornet, un client du camping y séjournant 16 jours, vient tous les jours acheter une glace à l’italienne.
Le nombre de jours où son attente est supérieur à une minute définit une variable aléatoire Y.
On suppose que le temps d’attente de M. Ducornet est indépendant d’un jour à l’autre.
a.Quelle est la loi suivie par Y ? Déterminer E(Y).
b.Calculer la probabilité que M. Ducornet, n’attende jamais plus d’une minute pendant toute la durée de son séjour.
c.Calculer P(Y ≤ 5).
Je suis arrivé à la question 3 et je bloque, merci d'avance
-----

[gg0]

Bonjour.

La question 3 est presque une question de cours (niveau première me semble-t-il) : On fait chaque jour une épreuve à deux issues (obtenir la glace en plus d'une minute), les épreuves étant indépendantes. La réussite à chaque épreuve a pour probabilité p (vu à la question 2) et on compte le nombre de réussites en 16 épreuves. La loi du nombre Y de réussites est donc ...

Cordialement.

[Farah2002]

a)Y suit donc la loi binomiale, d'accord donc E(Y)=np= 16x0,375=6
b) la probabilité que M Ducornet n'attende jamais plus d'une minute pendant toute la durée du séjour correspond à 1-P(X)=1-0,375=0,625
c)P(Y≤5)environ =0,407
Pouvez vous me dire si c'est le bon raisonnement? Merci

[gg0]

Oui, c'est le bon raisonnement pour le a), même si tu n'as pas dit quelle loi binomiale. La question b) est par contre maltraitée !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Farah2002]

Bernoulli je pense du coup. Cependant pour la question b) je ne vois pas comment raisonner du coup car ce n'est pas l'opposé de la probabilité d'attendre 1 minute?

[gg0]

Bernoulli correspond à une loi binomiale à 1 seul essai. je n'ai pas l'impression que c'est ce que dit l'énoncé.
Tu devrais revoir les cours sur la loi binomiale. Elle est définie par deux paramètres : le nombre d'essais (n) et la probabilité de réussite à chaque essai (p) et notée B(n,p).

Pour lla question b), sans une réelle lecture de la question, tu ne peux pas la faire. mais c'est aussi la confirmation que tu n'as pas vraiment compris ce que tu faisais à la question a). Donc refais sérieusement la question a) en pensant vraiment à ce qu'est cette variable aléatoire Y.

Bonne réflexion.

[Farah2002]

Je ne vois toujours pas comment s'appelle la loi binomiale, mais pour la question b) faut il calculer P(Y=0)?Si on fait cela, on obtient que P(Y=0)=5,4x10^(-4). Mais comme tu m'as dit que ce n'etait pas la loi de Bernoulli je ne pense pas que ce soit ce qu'il faut trouver.

[gg0]

La loi binomiale s'appelle loi binomiale. mais il y a une infinité de lois binomiales. Laquelle est est Y ? Combien vaut n, combien vaut p ? Quand je pense que tu as trouvé l'espérance par imitation de calculs sans savoir pourquoi !!
Il faudra aussi que tu apprennes ce qu'est une loi de Bernoulli.
Pour la suite, s'il n'attend jamais plus d'une minute, combien vaut Y ? Et comment trouves-tu 5,4x10^(-4) ?

Est-ce vraement raisonnable de tenter des calculs sans jamais savoir si c'est le calcul correspondant à la question ? Alors qu'apprendre ses leçons et s'en servir pour traiter les exercices (c'est ce que je fais, sauf que je connais ma leçon depuis très longtemps) est très facile et qu'on n'a plus besoin de demander "c'est juste ?".

[Farah2002]

Ici dans l'exercice n=16 et p=0,375. Je trouve 5,4x10^(-4) en faisant cette formule P(X=k)=(nk)×pk×(1−p)^(n−k)

[gg0]

Bizarre, cette formule ! C'est plutôt P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1−p)^(n−k). Et elle concerne quelle loi binomiale ?

C'est quand même particulier d'appliquer une formule sans être capable de dire quelle formule c'est ... Tu devrais apprendre tes leçons ! Les maths sont 1000 fois plus faciles quand on apprend le cours.

Donc
* Qu'est-ce qu'une variable qui suit une loi de Bernoulli ?
* Quelle loi précise suit la variable Y ?