BONSOIR, désolé de vous dérangez mais j'aimerais qu'on m'aide sur un exercice qui parle des graphes probabilistes , je ne sais vraiment pas par quoi commencer, je suis totalement perdue , auriez-vous la m'habiliter de m'éclaircir su le sujet
merci d'avance
voici l'exercice
Le contexte :
Un modèle simplifié de la transmission d’une maladie est le suivant:
On considère trois états pour chaque individu:
- S (Susceptible): l’individu peut tomber malade
- I (Infecté): l’individu a la maladie
- R (Retiré): l’individu est immunisé
Ces états sont temporaires, et on considère qu’un individu peut changer d’état chaque mois selon les
probabilités suivantes:
• S’il est dans l’état S, il peut le rester avec une probabilité de 0,6, ou passer à l’état I avec une
probabilité de 0,3 , ou encore passer à l’état R avec une probabilité de 0,1 (par vaccination
naturelle par exemple).
• S’il est dans l’état I, il peut le rester avec une probabilité de 0,05 ou passer à l’état R avec une
probabilité de 0,95.
• S’il est immunisé (état R), il peut le rester avec une probabilité de 0,9, ou passer à l’état S avec
une probabilité de 0,1.
On se propose de traiter les questions suivantes :
Q1. Quelle est la probabilité qu’un individu donné ait la maladie au bout du quatrième mois?
(on discutera de l’éventuelle influence de son état initial)
Q2. a. Vers quelle proportion de malades dans la population totale va-t-on se diriger?
Cette proportion dépend-elle de la composition initiale de la population?
b. Si on suppose qu’initialement personne n’est malade ou immunisé, au bout de combien de mois cette
proportion sera-t-elle atteinte à 0,01% près?
Travail à effectuer :
Rédiger un dossier complet (de préférence dactylographié) répondant aux questions à l’aide d’une modélisation par
un graphe probabiliste et du calcul matriciel, ainsi qu’une vérification à l’aide d’un tableur des résultats obtenus.
Consignes :
- la présentation et la clarté du dossier prendront une place importante dans l’évaluation.
- bien introduire les démarches et notations utilisées.
- afin de normaliser les notations et calculs, on prendra les états dans l’ordre S-I-R et (sn in rn) comme matrice d’état.
- l’existence d’un état stable pourra être admise, mais sa recherche devra se faire rigoureusement
- les extraits de tableur seront accompagnés des formules utilisées dans les cellules clés.
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