Problème Loi uniforme Terminale S

[LouSG]

Bonjour, voilà j'ai un problème avec la résolution du problème de maths ci-dessous, dont je n'est pas le corrigé (c'est un problème de terminale S dans le champs des probalités : loi uniforme) le voici :

Antoine et Lætitia ont rendez-vous à la gare entre 17 h et 18 h.
Chacun attendra un quart d'heure, pas plus puis partira et en aucun cas après 18 h.
Ils arrivent indépendamment et aléatoirement entre 17 h et 18 h.
Quelle est la probabilité qu'ils se retrouvent?

Auriez vous une solution à proposer ?

PS : je cherche à l'aborder en introduisant une variable aléatoire qui donne le temps de rencontre de Antoine et Laetitia, mais je me rend compte qu'en faisant cela je ne peux dès lors plus utiliser facilement la loi uniforme.
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[gg0]

Bonjour.

A ton niveau, utiliser une variable aléatoire composite est délicat. Tu peux faire une représentation des heures d'arrivée de chacune sur deux axes perpendiculaires (l'indépendance permet les deux axes, la perpendicularité simplifie les calculs) et représenter dans le carré la zone correspondant à une rencontre (regarde pour une heure d'arrivée de l'une sur un axe, la zone de l'autre axe qui permet la rencontre). Et chaque point du carré correspondant à une arrivée de l'une à l'heure abscisse et de l'autre à l'heure ordonnée, il y a équiprobabilité sur le carré. Donc la proba d'une zone du carré est le quotient de son aire par celle du carré.

Cordialement.

NB : Ce n'est plus vraiment une application des règles du cours.

[ansset]

tu as plusieurs approches.
l'une d'elle est de regarder quelle est la probabilité d'une rencontre en fonction de l'heure d'arrivée de l'un ou l'autre ( supposons Laeticia )
et pour simplifier les équations , considérer qu'elle arrive entre 0 (17 h ) et 1 (18 h)
sa loi d'arrivée étant uniforme sa probabilité d'arrivée est identique entre x=0 et x=1

ensuite de regarder selon les intervalles:
par exemple entre 1/4 et 3/4 , antoine a une latitude totale d'une demi-heure .
donc dans cet intervalle la densité de proba d'une rencontre est de 1/2.

pour les intervalles [0;1/4] et [3/4;1] ce n'est plus une valeur constante mais affine.
à toi de chercher.
ensuite il faut intégrer cette "courbe" sur l'ensemble [0;1]

[ansset]

Pas vu la réponse de gg0, mais qui en fait propose la même approche il me semble.

[A voir en vidéo sur Futura]

[LouSG]

Bonjour, merci pour vos réponses si rapides ! Il me semble avoir compris dans l'ensemble le principe, il s'agirait de créer un repère avec : en abscisse les heures potentielles d'arrivée de Leatitia, en ordonnée celles de Antoine.
selon gg0 :"la proba d'une zone du carré est le quotient de son aire par celle du carré", j'ai imaginé que le carré que vous évoqué est celui de dimension 60*60 (unité = minutes) que j'ai utilisé comme repère. Nous sommes effectivement en situation d'équiprobablité, j'ai pu le concrétiser en faisant votre schéma, je trouve que la zone de rencontre vaut 30*30 ou encore 15*60 et 15*45+15*15 càd 900. D'après votre approche on a donc p(rencontre) = 900/(60*60) = 1/4.

Pourriez vous me corriger si cela est nécessaire ?

PS : j'ai eu un peu plus de mal à comprendre votre approche ansset, je n'arrive pas à comprendre pourquoi la densité de probabilité d'une rencontre vaut 1/2 si l'on observe l'intervalle [1/4;3/4], en ayant conscience bien sûr que la soustraction des deux bornes fait 1/2.

[gg0]

Non, la réponse n'est pas celle-ci.

La zone utile est une sorte de bande à 45°, avec des pointes.
Chacun peut arriver jusqu'à 15 mn avant ou 15 mn après l'autre, et si on appelle x l'heure d'arrivée de l'un et y celle de l'autre, les doites d'équation x-y=15 et y-x=15 délimitent la zone utile.

Cordialement.

[ansset]

PS : j'ai eu un peu plus de mal à comprendre votre approche ansset, je n'arrive pas à comprendre pourquoi la densité de probabilité d'une rencontre vaut 1/2 si l'on observe l'intervalle [1/4;3/4], en ayant conscience bien sûr que la soustraction des deux bornes fait 1/2.

Pour ma part, en ordonnée, je mets la probabalité d'une rencontre ( pas l'heure d'arrivée d'Antoine ).
Supposons que Laeticia arrive à 17h30 ( soit à la valeur 1/2).
Pour que la rencontre ait lieu , il faut qu'Antoine arrive entre 1/4h avant et 1/4h après, ce qui fait un battement d'1/2 h.
Comme sa loi est uniforme sur une heure de temps, la probabilité est donc de 1/2.
Il en va de même pour Laeticia sur tout l'intervalle [1/4 ; 3/4].

sur les autres intervalles.
supposons que laeticia arrive pile à 17h ( t=0), alors Antoine doit arriver dans le 1/4h qui suit , ce qui fait ( en ce point ) une probabilité d'1/4.
et entre 17h et 17h15 ( entre 0 et 1/4) , la probabilité de rencontre passe linéairement de 1/4 à 1/2, car son laps de temps possible augmente linéairement.

on a donc à la fin une courbe ( faite de 3 segment de droite ) de la probabilité d'une rencontre.
la probabilté globale étant l'ensemble, il s'agit de son intégrale, soit de la surface sous cette "courbe".

[ansset]

l'approche de gg0 est diff ( à la relecture ) et peut être plus facile et intuitive.

soit "l'ensemble des possibles" donné par le carré de coté 1 avec les heures d'arrivées respectives de chacun en abcisses et ordonnées.
le but est de trouver la zone à l'intérieur ou la rencontre peut avoir lieu.

clairement ( dixit l'énoncé ) il faut que |y-x|<=1/4 , ce qui donne une zone comprise entre deux droites (*) à l'intérieur du carré.
la surface de cette zone donne la probabilité cherchée. ( même résultat bien sûr )

(*) 2 cas : x inf à y et inversement.

[LouSG]

Ca y est je crois que j'ai trouvé, j'ai utilisé vos deux méthodes et trouve un même résultat, je me suis aider d'une grille 4*4 et j'ai pu calculer avec vos deux approches l'aire de la zone utile : dans les deux cas je tombe sur une probailité de rencontre de 7/16 = 0.43 environ, est-ce juste ?

[gg0]

C'est ce que je trouve.

[LouSG]

Oh yahoooo ! Un grand merci à vous !!