Un problème de convergence uniforme

[Bleyblue]

Bonjour,

Dans une démonstration je suis tombé sur le passage suivant :



avec x un réel tel que

Pour justifier ce passage je dois montrer que la série converge uniformément pour tout t appartenant à [0,1].

OR pour t = 1/2 ce n'est pas le cas.
Cependant j'ai la convergence uniforme sur tout compact.
Est-ce suffisant ? Il me semble que non, le théorème affirmant que l'ont peut permuter sommation et intégration ne le mentionnant pas ...

merci
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[Garf]

Pas besoin de convergence uniforme : c'est du Fubini, et non une permutation de limites. Les conditions usuelles pour permuter somme et intégrale sont la positivité des fonctions* (ici, vérifiée pour x positif, mais pas pour x strictement négatif) ou leur bornitude** ***. Il suffit donc de montrer que, pour tout , .
Le calcul se fait assez facilement ; je trouve une norme bornée par .

* Théorème de Fubini-Tonelli.
** C'est moche, comme terme.
*** Théorème de Fubini-Lebesgue.

[Bleyblue]

Ha tiens ?

Mais dans mon cours de calcul différentiel et intégral de L2 j'ai clairement un résultat qui affirme :



à condition que le série converge uniformément.
Je ne vois pas ce que fubini vient faire la dedans ... à moins de considerer la série comme l'intégrale sur les naturels avec une certaine mesure discrete ...

merci

[Bleyblue]

Tiens maintenant que tu le dis en considérant la mesure de comptage sur c'est vrai que ça devrait marcher.

Mais donc quoi, le résultat qu'on a vu en L2 va aux oubliettes ?

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Garf]

Si la série converge uniformément et si l'ensemble A est de mesure finie, alors on est dans un cas particulier du théorème de Fubini-Lebesgue (si A n'est pas de mesure finie, on imagine facilement des cas où aucune des deux expressions n'est définie). Le théorème auquel tu fais référence ne s'appliquant que si A est un segment, on est bien dans ce cadre.

Quand au théorème de Fubini, il s'applique dès que l'on a une mesure produit de mesures -finies. C'est le cas ici : en effet, cette somme + intégrale est l'intégrale d'une certaine fonction (celle que j'ai explicitée dans mon précédent message) avec la mesure produit de la mesure de Lebesgue sur [0,1], et de la mesure de comptage sur .

[Garf]

Edit : je dis des c********. Le théorème utilisant la convergence uniforme ne se déduit pas de Fubini-Lebesgue ; notamment, il peut s'appliquer dans des cas où aucun des deux théorèmes de Fubini ne marchent. C'est plutôt un avatar du théorème de convergence dominée.

[Bleyblue]

De toute façon le résultat que je mentionne est valable pour des intégrales multiples également, donc A dans

D'accord, merci

[Bleyblue]

Pourrais-tu s'il te plaît détailler le calcul de la norme L1 de la fonction ? J'ai un peu du mal à voir comment tu t'y prends.

merci

[Garf]

je me suis un peu planté sur l'estimation de la norme , mais de pas beaucoup : il suffit de remplacer les par des (BTW, vue qu'on a sur (-1,1) et que la fonction x/(1-x) est croissante, la borne précédente est aussi valable - elle est juste stupide).



Ensuite, en utilisant l'inégalité pour :

[Bleyblue]

D'accord.

merci bien pour ton aide