Dérivée de a^x

[AaronH]

Bonjour à tous,
Je ne veux pas vous déranger mais j’essaye de démontrer les dérivées des fonctions des usuelles cependant je bloque sur la dérivée de a^x, je n’arrive pas à montrer qu’elle est égale à (a^x)(ln a).
Si quelqu’un saurait comment faire je suis preneur.
Merci beaucoup
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[albanxiii]

Bonjour et bienvenue sur le forum,

Le plus simple est de partir de la définition de a^x en fonction de l'exponentielle (). J'espère que vous avez vu cette définition en cours.

[Dicedead]

Heyyo!

Je vous propose aussi de le faire à partir de la définition de la dérivée comme limite du taux d'accroissement de la fonction:

Quoique ce n'est pas un moyen plus intéressant que la reformulation mentionnée par albanxii (car elle l'emploie), c'est un bon exercice sur les limites. Il y a aussi une petite subtilité à laquelle il faut prendre garde pour commencer peut être à vous habituer en douceur à la rigueur du supérieur, si l'année prochaine est effectivement votre première année dans le sup. Je mets une manière de faire ci-dessous en spoiler au cas-où vous voulez vous y essayer.

 Cliquez pour afficher

Au cas où: le symbole signifie "pour tout".
A montrer d'abord:

Or, vous avez sûrement vu la limite en cours: au moins pour le cas particulier qui est une forme indéterminée.(**) Ainsi avec :


Enfin, pour le cas exclu ci-dessus pour éviter de multiplier par 0/0 à la ligne (*), la fonction est constante, de dérivée nulle. Or ce qui permet de rajouter cette association à la formule générale, qui demeure continue:


(**) D'ailleurs, si vous ne l'avez pas fait en cours, vous pouvez montrer cette égalité en utilisant la définition de la différentielle, équivalente (pour le moment ) à celle de la dérivée:

avec x dans un voisinage de (ie "proche" de) x0 et
En l'appliquant à l'exponentielle, dérivable (et donc différentiable) dans un voisinage de x0 = 0: avec Injectez cette expression dans la limite en question (avec C = 1) et le tour sera joué.

J'ai développé cette seconde limite que vous avez sûrement déjà rencontrée car la technique que j'ai employée pour la calculer est importante dans le supérieur.

PS: J'avoue que ce post est principalement né d'une envie de faire du Latex

[jacknicklaus]

Or, vous avez sûrement vu la limite en cours:

euh ?? ! ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dicedead]

Ah oui whoops, je pensais à autre chose.
Gardons C = 1

[plaplat]

Hello,

AaronH, Je te propose cette petite pépite pour t'initier à l'opérateur exposant et comment e a été trouvé/calculer. De plus, vers la fin de la vidéo il explique comment on passe de : à

J'avoue que ce post est principalement né d'une envie de faire du Latex

@Dicedead tu m'a fais trop mal

[Black Jack 2]

Bonjour,

Alternative ...

f(x) = a^x

ln(f(x)) = x * ln(a)

On dérive les 2 membres et ...