transformations

[invite0befaa9e]

bonjour
est ce qu'une translation peut admettre des points invariants
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[gg0]

Bonjour.

Si tu réfléchis un peu, tu trouveras facilement la réponse à cette question ! Et dans quel cas il y a des points invariants.

Cordialement.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Pour compléter gg0, tu peux prendre la définition d'un point invariant pour une application (pour p un point dans un ensemble E et une application A de E dans E, p est un invariant pour A si...) et voir si les translations satisfont cette définition*.

*Élément de réponse: "ça dépend".

[invite0befaa9e]

merci pour vos réponses
ce que je sais c'est que pour determiner les points invariants on résous le systeme {X=X+X0/ Y=Y+Y0 (pour une translation, avec X0 et Y0 les coordonnées du vecteur de translation
et pour mon exercice, je ne trouve aucune solution

Voici l'exercice
Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O,i ,j ) on considère la transformation f qui à tout point M(x, y)
associe M'(x', y') tel que :

x'=x+1
y'=y-1

a) Déterminer la nature et le(s) élément(s) caractéristique(s) de f.
b) Déterminer les images A' et B' des points A(-2, 3) et B(1, 2).
c) Prouver que l’ensemble des points invariants de f est une droite D dont on donnera une équation.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

pour la question c tu peux remarquer que ton application est affine. L'ensemble des points invariants d'une application affine est un sous-espace affine (du plan dans le cas présent). Dans le plan, comme sous-espaces affines on a : les points isolés, les droites et le plan lui-même. Donc si tu trouves 2 points invariants distincts et un troisième point qui n'est pas invariant tu sauras que l'ensemble des points invariants est une droite.

[invite9dc7b526]

d'ailleurs je ne pense pas qu'il y ait des points invariants. Peut-être que l'auteur de l'exercice veut parler d'une droite qui est invariante dans son ensemble (la droite est transformée en elle-même sans que ses points soient invariants).

[gg0]

Il y a manifestement un problème dans cet énoncé : Pas de point invariant; pas "une droite invariante" dans son ensemble, mais une infinité. Ça ressemble à un exercice qui copie un autre énoncé avec des nouvelles données, mais raté ! Ou une énorme erreur de copie !!
En effet, le système proposé définit bien une translation de vecteur non nul V(1,-1), donc pas de point fixe et toutes les droites de vecteur directeur V sont globalement invariantes.

Cordialement.

[invite0befaa9e]

oui en effet je n'ai pas pu trouver de points invariants
et pour le cas d'une droite invariante dans son ensemble, je ne sais vraiment pas comment faire

[invite0befaa9e]

certainement je me suis dit la même chose aussi
merci

[gg0]

Pour avoir une droite globalement invariante, il va falloir que l'image d'un de ses points soit encore sur la droite, donc si le point est M(a,b), son image M'(a+1,b-1) soit sur cette même droite. Or trouver la droite qui passe par M et M' est facile (niveau troisième : équations de droites). Tu vas trouver une infinité de cas possibles, des droites parallèles entre elles.

Cordialement.