Orthogonalité de n vecteurs et leurs linéarisations

[hanheda]

Bien le bonjour/bonsoir.
J'arrive pas a Démontrer cette proposition : " Si n vecteurs sont mutuellement orthogonaux, alors ils sont linéairement indépendant"
J'ai beau retourner le problème de tout les sens, je n'arrive pas a avancer.
En passant j'aimerais que vous m'éclairiez sur une chose : Soit B' une famille sur un e.v.r E de dimension "n" tel que B' contient n-vecteur. B' est une famille libre si le déterminant des composons de ces vecteurs ( les vecteurs de la famille B' ) sur la base B est diffèrent de 0"
Merci de prendre le temps de lires et de formuler des réponses adéquates a mes questions.
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[Tryss2]

Je note ces n vecteurs. Soit
,

Que vaut (le produit scalaire de S par S)? Quand , qu'est-ce que ça implique sur les ? Conclusion?

[hanheda]

Désolé mais j'ai pas compris où tu voulais en venir.....

[gg0]

Bonjour Haneda.

Il faut rajouter l'hypothèse "non nuls", car on considère parfois que le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

"j'ai pas compris où tu voulais en venir.." Normal si tu ne te mets pas dans les conditions d'écoute. Tu n'as pas répondu à la première question, tu n 'as pas fait le calcul évident qui t'est proposé. Tu ne risques pas de voir où il voulait en venir ... et la condition aurait dû faire tilt dans ton esprit (si tu avais vraiment essayé de faire toi-même l'exercice).

Une autre méthode :
Avec les notations de Tryss2, développe . Puis en supposant (pourquoi cette supposition ? ) conclus et recommence avec .

Bon travail personnel !

[A voir en vidéo sur Futura]

[hanheda]

Bonjour
je l'admet, je n'ai pas vraiment fait attention a ce que voulais dire Tryss2. veuillez pardonnez mon manque d'attention.
En suivant vos remarque respective, j'ai pu avancer et trouver ceci: (je sais pas comment ecrire les sommes et les indices alors je vais ecrire les vecteur sous leur formes naturels)

Soit {X1,X2,X3,....,Xn} une base orthogonale et soit {A1,A2,A3,....An} un ensemble qui appartient a R^n
Soit S un vecteur définit par : S=A1X1+A2X2+......+AnXn

on a <S,S>=<A1X1+A2X2+......+AnXn , A1X1+A2X2+......+AnXn>
= A1²<X1,X1>+A2²<X2,X2>+.......+ An²<Xn,Xn>
=A1²+A2²+A3²+....An²
si S=0 Alors <S,S>=0
é.q A1²+A2²+A3²+....An²=0
donc A1=A2=.....=An=0
Par conséquent Si n vecteur sont mutuellement orthogonaux, alors ils sont linéairement indépendants.

(Pour répondre a la remarque de gg0, ceci n'était pas un exercice mais une simple remarque -trouver dans un cours concernant les espaces vectorielle- que je voulais démontrer, en passant merci de vos remarques concernant mon incompréhension qui m'ont aidez a avancer)
Merci de vérifier la véracité de cette démonstration.