en manœuvre

[Quantic star]

Salut !

Mon lycée m'a sympathiquement laissé mes livres de maths à la fin de l'année, livres que je feuilletais ce matin quand je suis tombée sur L'exo de spé que je n'ai jamais su comment prendre, et qui m'a pris la tête un moment avant que je laisse tomber parce que trop occupée.
Je vous donne l'énoncé exact, si vous pouviez m'aider, au moins à poser le problème et trouver la méthode pour le résoudre, je vous en serais très reconnaissante : (il est classé dans la rubrique "Bézout", si ça vous avance)

"Un bataillon de moins de 1000 hommes est en maneouvres sur un champs d'exercices. Qu'ils se mette en colonne par 8, 15 ou par 25, le dernier rang ne comporte dans les trois cas que 5 hommes.
Si le bataillon se mettait en colonne par 11, tous les rangs seraient-ils complets ?"

La seule chose que j'ai comprise, c'est que si on appelle N le nombre de soldats (N < 1000) il faut trouver à quoi il est congru modulo 11, mais je ne vois vraiment pas comment m'y prender....
Merci aux âmes charitables qui pourrons me donner un indice, que j'arrive enfin à rsoudre cet exo !
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[Jeanpaul]

Imagine que 5 hommes se font porter pâles et que les autres se mettent en rangs. Que conclus-tu ?

[invitee5cb77f5]

bonour,
Sachant que si les soldats se mettent en rang par 8, il en reste 5, tu peux deduire que N=8k+5, avec k un entier naturel.
de la, en utilisant les 2 autres informations (les rangs par 15 et 25), tu peux deduire 2 conditions sur 8k, et ensuite trouver en testant les differents cas possibles (sachant que N inferieur a 1000), et trouver la valeur de N.

[invite8e9bfb01]

Bonjour

Supposons N le nombre cherché. On a d'abord N < 1000.

En divisant N par 8 , 15 , 25 , on aura pour reste 5.

Supposons K₁ , K₂ , k₃ les quotients respectifs de N par 8 , 15 , 25.

On a donc:

N = 8 K₁ + 5
N = 15 K₂ + 5
N = 25 K₃ + 5

En calculant (N - 5) à partir de ces égalités on aura:

N - 5 = 8 K₁
N - 5 = 15 K₂
N - 5 = 25 K₃

On en conclut que le nombre (N - 5) est un multiple commun aux nombres 8 , 15 , 25 [ le nombre (N - 5) divisible simultanément par 8 , 15 , 25]

On a : P.P.C.M (8 , 15 , 25) = 550

Alors : (N - 5) appartient à l'ensembre {550 , 1100 , 1650 , ....} ; ensemble des multiples du
P.P.C.M (8 , 15 , 25)

et donc : N appartient à l'ensemble {555 , 1105 , 1655 , .... }

et puisque : N < 1000 , on aura alors : N = 555

On voit bien que le nombre N, trouvé, est divisble par 11.

Conclusion: Si le bataillon se mettait en colonne par 11, tous les rangs seraient effectivement complets.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8e9bfb01]

On voit bien que le nombre N, trouvé, est divisble par 11.

Conclusion: Si le bataillon se mettait en colonne par 11, tous les rangs seraient effectivement complets.

Bonjour,

Je corrige l'erreur commise dans la conclusion:

On voit bien que le nombre N, trouvé, n'est pas divisble par 11.
(555 = 3 x 5 x 37)

Conclusion: Si le bataillon se mettait en colonne par 11, tous les rangs ne seraient effectivement pas complets. (on aurait, de même, 5 hommes dans le dernier rang).

Je m'excuse pour cette erreur...

Merci

[Jeanpaul]

On a : P.P.C.M (8 , 15 , 25) = 550

: N = 555

On voit bien que le nombre N, trouvé, est divisble par 11.

Conclusion: Si le bataillon se mettait en colonne par 11, tous les rangs seraient effectivement complets.

T'as pas comme un problème de calcul, là ?
P.P.C.M. (8, 15, 25) je dirais plutôt 600 (divisible par 3 quand même !)
Et puis 555 n'est pas divisible par 11.
Mais 605, oui, parce que 6+5 = 11 l'est.

[Quantic star]

J'ai compris (et c'était pas gagné...) !!! merci beaucoup à vous tous !

A partir des indications de Hari Seldon, et en fait en suivant un peu la méthode de hbenalia avec les PPCM, je suis arrivée à N = 605 (comme le dit Jeanpaul) qui est bien divisible par 11 !!!

Merci encore (je vais pouvoir dormir tranquille grâce à vous )


Au fait y'avait pas de lien avec le théorème de Bézout finalement ? (y'a peut-être une autre solution...)

[invite8e9bfb01]

Bonjour

Merci Jeanpaul, pour la correction. Le PPCM(8,15,25) est égal 600.
Les calculs que j'ai fait, je les fait mentalement, j'aurais dû utiliser le brouillon.

Merci encore