Dm terminale convexité

[lunpeuperdu]

Bonjour,
j’aurai besoin d’aide pour répondre à la dernière question de mon dm,
L’énoncé nous donne la fonction f(x)=-4xe^-x
On nous demande de résoudre f(x)>=(4e^-2)(x-4)
J’ai montré que f admettait un pt d’inflexion en 2, Que (4e^-2)(x-4) est l’eq de la tangente en 2 et comme f est convexe avant 2 et concave après, L’inéquation est vraie pour x<=2.
Maintenant, de cette résolution d’inéquation on nous demande «en déduire sans calculatrice que e^0,5<=5/3» et c’est sur cette question que je bloque.
Quelqu’un pourrait-il m’aider ?
Merci d’avance.
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[gg0]

Bonjour.

Cette question demande un peu de réflexion. Il semble assez évident qu'on peut utiliser l'inégalité trouvée en remplaçant x par 0,5 ou -0,5, qui sont tous deux inférieurs à 2. Regarde ce que ça donne. Tu verras qu'on conserve des e^2 ou e^(-2) dont on ne sait que faire. Une fois ces calculs faits, conserve l'idée, et cherche une valeur de x qui va permettre de simplifier les exponentielles et de ne plus avoir que e^(0,5). Et ça marche !

Cordialement.

[lunpeuperdu]

Je suis désolé mais je n'y arrive toujours pas. J'ai fait les calculs avec x=0,5 puis x=-0,5. Cela me donne -9e^(-2)<=e^0,5 et e^(-0,5)<=7e^(-2). J'ai essayé différentes choses comme de sommer les inégalités puis d'isoler e^0,5 mais ça ne me mène à rien...

[gg0]

C'est ce que je t'ai dit ! Relis mon indication, qui n'est évidemment pas de prendre x=0,5 ou x=-0,5. Tu as perdu ton temps alors que je te donnais une piste ...

NB : Que connais-tu comme formules qui simplifie avec les exponentielles ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

Par exemple, avec x=1 (ce n'est pas ce réél qu'il faut choisir, mais c'est un bon exemple), tu arrives à -e^-1 >= -3e^-2 soit en multipliant par -e² on trouve e¹ <= 3

[lunpeuperdu]

C'est bon merci, j'ai enfin trouvé. J'avais laissé ça de coté quelques jours puis je m'y suis remis. J'ai isolé l'exponentielle dans l'inégalité puis j'ai trouvé le x tel qu'elle soit égale à e^0,5 (Càd e^(2-x)=e^0,5) et x=1,5 permet bien de déduire le résultat recherché.

[jacknicklaus]

Merci d'être revenu faire un retour. Ce n'est pas tout le monde, loin de là hélas, qui a cette politesse.

[gg0]

Je confirme