Convexité

[inviteec33ac08]

Bonsoir,

J'ai un problème sur la correction d'un exercice, voila on considère un espace affine E , A un point de E et h: E->R une fonction vérifiant h(xM+(1-x)A)=xh(M)+(1-x)h(A)=xh(M)+(1-x)h(A) pour tout point M de E et x positif
et h(xM+(1-x)N)<=xh(M)+(1-x)h(N) pour tout M,N dans E et x appartenant à [0,1]

1) Montrer que C(A,h)={M dans E| h(M)<= h(A)+1} est un sous-ensemble convexe de E

Alors la je ne comprends pas du tout ce qu'à fait mon prof il prend deux point M,N dans C(A,h) et x dans [0,1] il dit que l'on a h(xM+(1-x)N)<=xh(M)+(1-x)h(N)
<=x(h(A)+1)+(1-x)(h(A)+1)
<=h(A)+1

Je ne comprends pas la méthode...
Merci à vous
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[rezrezrez]

oups, erreur désolé

[inviteea028771]

Il faut montrer que, si on prend deux points M et N dans C(A,h), alors pour tout x dans [0,1], xM+(1-x)N est dans C(A,h)

Cela veut dire, montrer que, en prenant deux points M et N qui vérifient h(M)<= h(A)+1 et h(N)<= h(A)+1, on a que h(xM+(1-x)N) <= h(A)+1

Ici, j'ai juste traduit l'énoncé, en explicitant ce que veut dire "appartenir à C(A,h)".

En ayant réécrit les choses de cette façon, c'est assez automatique :

h(xM+(1-x)N) <= xh(M)+(1-x)h(N) : c'est une propriété de h

Ensuite, on utilise le fait que M et N sont dans C(A,h), et donc que h(M)<= h(A)+1 et h(N)<= h(A)+1

xh(M)+(1-x)h(N) <= x(h(A)+1) + (1-x)(h(A)+1)

D'où le résultat