Variations d'une suite avec racine

[Marmus1021]

Bonjour !
J'ai cette suite et je dois déterminer ses variations.
Un+1 = racine de (3Un +1)

J'ai essayé de passer par la quantité conjuguée mais je n'aboutis pas.
Une idée ?

Et sinon je me demandais, est-ce qu'on peut trouver les limites d'une suite quand elle est définie par récurrence ? Ou il faut obligatoirement trouver sa formule explicite avant ?
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[gg0]

Bonjour.

L'étude des suites de la forme u_n+1 = f(u_n) se fait à partir de l'étude de la fonction f. On peut d'ailleurs représenter graphiquement l'évolution de la suite en traçant la courbe de f et la droite d'équation y=x dont les points servent à passer d'un nombre sur l'axe des y (une ordonnée) au même nombre sur l'axe des x (une abscisse). Si f est continue, et que la suite a une limite, alors en passant à la limite dans u_n+1 = f(u_n) on obtient une équation dont cette limite est solution.
Comme tu ne donnes pas la valeur de u₀, difficile d'en dire plus.

Cordialement.

[Marmus1021]

D'accord merci, je n'ai pas encore appris ça en cours, mais je viens de voir grâce à vous la méthode
Mais le premier réflexe est d'étudier le signe de u_n+1 - u_n dans le cas de u_n+1 = f(u_n) non ? Cela fonctionne bien pour certaines suites ? Et si on ne peut rien en tirer, on passe par l'étude de la fonction c'est bien cela ?

Et sinon dans mon exercice, la fonction f est croissante sur R+(étude de la dérivée). De plus, u₀ = 0, donc f(u₀) > u₀. Donc on en conclut que la suite u_n est croissante.

[invite51d17075]

OK, il te reste à montrer qu'elle est majorée ( ou pas).
dans le premier cas, la limite satisfait l=rac(3l+1)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

De plus, u₀ = 0, donc f(u₀) > u₀. Donc on en conclut que la suite u_n est croissante.

Peux-tu expliquer comment tu trouves cette conclusion ?

[invite51d17075]

effectivement, cela beau être vrai avec UO=0, la justification ne portant que sur N1 est faible.

[invite51d17075]

il manque juste une tout petit truc ( expression )

[jacknicklaus]

la fonction f est croissante sur R+(étude de la dérivée). De plus, u₀ = 0, donc f(u₀) > u₀. Donc on en conclut que la suite u_n est croissante.

Tu mélanges deux choses : f croissante et la suite U_n+1 = f(U_n) croissante.

Contre exemple : f(x) = x/2.

[PlaneteF]

Bonjour,

Tu mélanges deux choses : f croissante et la suite U_n+1 = f(U_n) croissante.

Contre exemple : f(x) = x/2.

Et d'ailleurs, pour compléter sur ton exemple, on peut même dire que l' "ironie" dans cette histoire, c'est que c'est la croissance de la fonction qui va permettre de démontrer la décroissance de la suite !

Cordialement