Variations d'une suite avec racine
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Variations d'une suite avec racine



  1. #1
    Marmus1021

    Variations d'une suite avec racine


    ------

    Bonjour !
    J'ai cette suite et je dois déterminer ses variations.
    Un+1 = racine de (3Un +1)

    J'ai essayé de passer par la quantité conjuguée mais je n'aboutis pas.
    Une idée ?

    Et sinon je me demandais, est-ce qu'on peut trouver les limites d'une suite quand elle est définie par récurrence ? Ou il faut obligatoirement trouver sa formule explicite avant ?

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Variations d'une suite avec racine

    Bonjour.

    L'étude des suites de la forme un+1 = f(un) se fait à partir de l'étude de la fonction f. On peut d'ailleurs représenter graphiquement l'évolution de la suite en traçant la courbe de f et la droite d'équation y=x dont les points servent à passer d'un nombre sur l'axe des y (une ordonnée) au même nombre sur l'axe des x (une abscisse). Si f est continue, et que la suite a une limite, alors en passant à la limite dans un+1 = f(un) on obtient une équation dont cette limite est solution.
    Comme tu ne donnes pas la valeur de u0, difficile d'en dire plus.

    Cordialement.

  3. #3
    Marmus1021

    Re : Variations d'une suite avec racine

    D'accord merci, je n'ai pas encore appris ça en cours, mais je viens de voir grâce à vous la méthode
    Mais le premier réflexe est d'étudier le signe de un+1 - un dans le cas de un+1 = f(un) non ? Cela fonctionne bien pour certaines suites ? Et si on ne peut rien en tirer, on passe par l'étude de la fonction c'est bien cela ?

    Et sinon dans mon exercice, la fonction f est croissante sur R+(étude de la dérivée). De plus, u0 = 0, donc f(u0) > u0. Donc on en conclut que la suite un est croissante.

  4. #4
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Variations d'une suite avec racine

    OK, il te reste à montrer qu'elle est majorée ( ou pas).
    dans le premier cas, la limite satisfait l=rac(3l+1)
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Variations d'une suite avec racine

    De plus, u0 = 0, donc f(u0) > u0. Donc on en conclut que la suite un est croissante.
    Peux-tu expliquer comment tu trouves cette conclusion ?

  7. #6
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Variations d'une suite avec racine

    effectivement, cela beau être vrai avec UO=0, la justification ne portant que sur N1 est faible.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  8. #7
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Variations d'une suite avec racine

    il manque juste une tout petit truc ( expression )
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  9. #8
    jacknicklaus

    Re : Variations d'une suite avec racine

    Citation Envoyé par Marmus1021 Voir le message
    la fonction f est croissante sur R+(étude de la dérivée). De plus, u0 = 0, donc f(u0) > u0. Donc on en conclut que la suite un est croissante.
    Tu mélanges deux choses : f croissante et la suite Un+1 = f(Un) croissante.

    Contre exemple : f(x) = x/2.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  10. #9
    PlaneteF

    Re : Variations d'une suite avec racine

    Bonjour,

    Citation Envoyé par jacknicklaus Voir le message
    Tu mélanges deux choses : f croissante et la suite Un+1 = f(Un) croissante.

    Contre exemple : f(x) = x/2.
    Et d'ailleurs, pour compléter sur ton exemple, on peut même dire que l' "ironie" dans cette histoire, c'est que c'est la croissance de la fonction qui va permettre de démontrer la décroissance de la suite !

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 31/10/2020 à 16h12.

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