Exercice fonction exponentielle et limite

[Lachimiecphysique]

Bonjour, j’ai besoin de votre aide pour l’exercice suivant:
Soit R l’ensemble des nombres réels
1ère partie:
Soit g la fonction définie et dérivable sur R telle que, pour tout réel x, g(x)= -2x³+ x²-1.

1)Étudier les variations de la fonction g
2)Déterminer les limites de la fonction g en -oo et en +oo
3) En déduire le signe de g sur R.

2ème partie:
Soit f la fonction définie et dérivable sur R telle que, pour tout réel x,
f(x) = (1+x+x²+x³) e^-2x+1.

On note f’ la fonction dérivée de la fonction f sur R.

1) Démontrer que lim_x—>-oo f(x) = -oo
2) Démontrer que pour tout x>1,
1<x<x²<x³.
3) En déduire que, pour x>1,
0<f(x)<4x³e^-2x+1,
4) On admet que, pour tout entier naturel n, lim_x—>+oo xⁿe^-x=0.
Vérifier que, pour tout réel x, 4x³e^-2x+1= e/2(2x)³e^-2x puis montrer que lim_x—>+oo 4x³e^-2x+1=0.
5) On note Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O; vecteur i, vecteur j). En utilisant la question précédente, déterminer la limite de f en +oo et en donner une interprétation graphique.
6) Démontrer que, pour tout x de R, f’(x)= (-2x³+x²-1)e^-2x+1.
7) À l’aide des résultats de la partie A, déterminer les variations de f sur R

Mes réponses :
*Pour la première partie*
1) Soit g la fonction définie et dérivable sur R telle que pour tout réel x, g(x)=-2x³+x²-1.
donc g’(x) = -6x²+2x
= -2x*(3x+2x/-2x)
= -2x*(3x-1)

*Donc -2x= 0 * Donc 3x-1 =0
Alors x=0. Alors x=1/3

On a donc le tableau de signe suivant:

F2203B49-B920-4A99-BCD0-2CCC5E840B6B.jpg

Par conséquence, il est possible de déterminer le tableau de variations ci-dessous pour la fonction g:

FDF57D6B-D304-4315-A9A9-C4DAE0B3F73E.jpg

2) Pour -oo :
*lim_x—>-oo -2x³= +oo
*lim_x—>-oo x²-1 =+oo

Donc d’après les règles d’une limite d’une somme de suites lim_x—>-oo g(x) = +oo

Pour +oo :
*lim_x—>+oo -2x³ = -oo
*lim_x—>+oo x²-1 = +oo
Nous avons ici une forme indéterminée.

Donc g(x)= -2x³+x²-1
= x³(-2+ x²/x³-1/x³)
= x³ (-2+1/x-1/x³)

Ici *lim_x—>+oo x³=+oo
*lim _x—>+oo (1/x-1/x³)=0, donc lim_x—>+oo -2 + 1/x - 1/x³ = -2.

On a donc d’après les règles d’une limite d’un produit de suites lim_x—>-oo -2x³+ x²-1 = -oo

3) On en déduit que g est négatif sur R.

*deuxième partie*
1) lim_x—>-oo (1+x+x²+x³) = -oo
lim _x—>-oo e^-2x+1=+oo

Donc d’après les règles d’une limite d’un produit de suites lim_x—>-oo f(x)=-oo . Somme nous ici obligé de passer par la dérivée f’(x) ?

2)Démonstration par récurrence ??,

Merci beaucoup si vous m’aidez, bonne journée.
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[gg0]

Bonjour.

Partie I
1) En général, on sait donner directement le signe de g'(x)=-6x²+2x à partir de ses racines évidentes 0 et 1/3. mais le résultat est correct.
2) Laborieux !! L'écriture g(x) = x³ (-2+1/x-1/x³) donne immédiatement les deux limites (la parenthèse tend vers -2).
3) Belle erreur ! Pour une fonction qui tend vers +oo, être négative est difficile. Il serait bon de réfléchir avant d'écrire.
Rappel : mettre les limites dans le tableau de variations évite les erreurs de signe.

Partie II
1) Limite pour le polynôme et pour l'exponentielle à justifier. Surtout quand on a mis 9 lignes pour traiter une limite plus simple au I,2) !
Je n'ai pas compris pourquoi tu parles de la dérivée. Si tu as un calcul correct pour la limite, il n'y a rien à rajouter.
2) Pourquoi une récurrence ? C'est une preuve de niveau seconde. Utilise x>1 (qui fait que x est positif).

Bon travail !

[Lachimiecphysique]

Bonsoir, désolé de répondre que maintenant, je vous remercie beaucoup pour votre aide, je pense pouvoir me débrouiller seul maintenant. Je vous contacterai si besoin .

Bonne soirée et merci encore