Bonjour ! Voici un exercice sur le théorème des valeurs intermédiaires.
Soit fn(x) = x3 - 2nx +1, pour n >1.
1) Montrer que l'équation fn(x) = 0 admet une unique solution sur [0;1].
2) On nomme cette solution an. Comparer an et 1/n, et déterminer la limite de (an)
1) Alors je ne détaille pas tout, mais j'ai montré que f était continue et strictement monotone sur [0;1], et que f(0) et f(1) étaient de signes opposés. Donc il existe un unique réel c tel que f(c) = 0. Et on appelle an ce réel c.
2) Mais là je suis bloqué : je ne comprends pas comment on peut trouver l'expression de an. Il y a sûrement un autre moyen de le comparer à 1/n ( et je suppose qu'il faut prouver qu'il est inférieur ou égal, pour conclure que (an) tend vers 0).
Merci d'avance !
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