Théorème des valeurs intermédiaires

[mehdi_128]

Bonjour,

Je suis bloqué depuis une journée sur cet exemple et ça m'énerve j'avance pas
Si quelqu'un pourrait éclaircir mes lanternes je lui en serait reconnaissant.

Je rappelle les notations pour le TVI dans mon livre :
Soit un intervalle non vide et non réduit à un point.
Soient deux réels de cet intervalle avec
Soit une fonction continue sur I.
Soit un réel compris entre et
Alors il existe au moins un réel dans tel que




1/ Je ne comprends pas pourquoi appartient à ?
2/ Quand l'auteur utilise le TVI pour il l'utilise pour quel segment ? J'essaie de me ramener au théorème du cours mais je vois pas.
3/ Pourquoi il ne mentionne pas le cas où ?

Bref, je mélange tout c'est pas clair du tout
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[invite23cdddab]

1) Ta fonction f est à valeur dans [-1,1], puisque c'est un sinus de quelque chose. Donc forcément, f(a) et f(b) sont dans [-1,1], donc si un nombre est compris entre f(a) et f(b), alors il est aussi dans [-1,1]

2) Tu peux l'appliquer à un intervalle de la forme (j'ai mis les 2k pi parce qu'on veut le X supérieur à 1/b)

3) J'ai du mal à comprendre ta question : Il n'y a pas de "x" dans le théorème des valeurs intermédiaires

[mehdi_128]

Je vois pas le rapport entre et l'intervalle :

[invite23cdddab]

Si on applique le théorème des valeurs intermédiaire à la fonction six(X) sur [-pi/2, pi/2], on va trouver un X vérifiant sin(X) = lambda, le problème, c'est que ce X n'est pas forcément supérieur à 1/b. Mais comme le sinus est périodique, on peut faire la même chose sur [-pi/2 + 2k pi, pi/2 + 2k pi], en choisissant k de telle sorte que -pi/2 + 2k pi soit supérieur à 1/b. Et alors on va trouver un X supérieur à 1/b (puisque dans cet intervalle)

[A voir en vidéo sur Futura]

[mehdi_128]

Finalement j'ai résolu l'exo.

On a : et que

Prenons : donc :

donc :


Il faut trouver un tel que

Soit

Il suffit de prendre tel que

La fonction sinus prend toutes les valeurs sur donc à fortiori sur

[mehdi_128]

Petite correction :

La fonction sinus prend toutes les valeurs entre -1 et 1 sur car elle prend prend toutes les valeurs comprises entre -1 et 1 sur

Or pour x>0

f prend toutes les valeurs entre -1 et 1 sur : passage à l'inverse