Bonjour,
J'ai besoin d'aide pour ces deux exercices, on nous a dit que ça se résolvait avec le théorème des valeurs intermédiaires :
Montrer que, pour une fonction f continue sur [a,b], il existe au moins un réel c de [a,b] tq m.f(a) + n.f(b) = (m+n).f(c) (m et n étant deux réels strictement positifs)
Montrer que, pour une fonction f continue sur [0,1] telle que pour tout réel x de [0,1], f(x) appartient à [0,1] , il existe un réel c de [0,1] tq f(c) = c
Merci d'avance
Il faut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à des fonctions astucieusement choisies. Faire un schéma peut aider aussi.
Pour la 1ère question, pose que F(x) = m f(a) + n f(b) - (m+n) f(x) et regarde combien vaut cette fonction en a et b
Pour l'autre, c'est pareil, pose que F(x) = f(x) - x et regarde les valeurs de F en 0 et en 1.
En gros, pour la première question, F(a) = n(f(b)-f(a)) et F(b) = m(f(a)-f(b)) donc quelque soit la relation d'ordre entre f(a) et f(b), on aurai F(a).F(b) <= 0 alors que dans le thèorème des valeurs intermédiaires, il faut avoir le stricte négatif, comment mener la discussion pour ce cas où f(b) serait égale à f(a) ?
Le même problème se présente à la question 2
Si f(a) = f(b) alors, les doigts dans le nez, tu prends c en a ou b.Envoyé par Haexyrus
Effectivement, donc il suffit de supposer f(a) différent de f(b) dans un premier temps où la solution serait sur ]a,b[ puis de prendre f(a) = f(b) ou la solution serait a ou b et enfin il suffit de déduire le résultat demandé dans la question, c'est bien ce qu'il faut mettre sur sa feuille non ?
Merci bien pour l'aide
Je me demande si le théorème des valeurs intermédiaires impose que f(a) soit différent de f(b). A vérifier.
En tout cas, c'est ce que j'ai sur mon manuel scolaire et sur mon cahier de cours. Sur wikipedia ce n'est pas le cas, mais je ne vois pas vraiment pourquoi ils metteraient cette contrainte
La contrainte ça consiste à imposer f(a) différent de f(b), je n'en vois pas l'intérêt.
