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Champ de température dans une sphère chauffée




  1. #1
    sarah1401

    Champ de température dans une sphère chauffée

    Bonjour, voici un exercice que j'ai à faire en Mécanique des milieux continus

    L'équation de la chaleur dans un milieu continu tridimensionnel p*(d/dt)*(cT) =div Φ exprime en tout point le bilan entre la variation de la densité volumique pcT d'énergie stockée localement sous forme de chaleur et la puissance apportée par conduction par le flux thermique Φ, où T est le champ de température, p la masse volumique et c la capacité calorifique massique du milieu. Par ailleurs, la loi de Fourier Φ=-λ •gradT exprime que le flux thermique dépend linéairement du gradient de température par l'intermédiaire d'une propriété matérielle λ appelée conductivité thermique.
    On considère une sphère creuse de rayons intérieur Ri et extérieur Re. La température sur la surface extérieure (respectivement : intérieure) de la sphère est uniformément égale à Te (respectivement : Ti). Le matériau constituant la sphère creuse est :
    homogène, de sorte que p, c et À sont indépendants du point considéré,
    — isotrope, de sorte que λ=λI (λ et I sont des tenseurs d'ordre 2)
    L'expression du champ de température dans la sphère creuse est recherché lorsqu'un régime permanent est instauré (d/dt*(cT) = 0).
    1. Les symétries du problème conduisent à rechercher le champ de température de la forme T(x) = T(r) en coordonnées sphériques. Quelle est alors l'expression du flux thermique Φ en fonction de r et de ses dérivées ? Calculer le gradient du flux thermique et en déduire la divergence par contraction. Vérifier à l'aide de l'expression directe de la divergence donnée par le formulaire.
    2. Établir l'équation différentielle portant sur la température au sein de la sphère creuse. La résoudre en remarquant que (r²T' (r))' = r²T''(r)+2rT'(r).
    3. Déterminer les constantes d'intégration en explicitant les conditions aux limites de continuité de la température.

    Pour la question 2/ on remplace dans la formule p*d/dt*(cT) =div Φ la divergence qu'on calcule en question 1 mais je ne vois pas comment remarquer l'équation qu'on nous donne dans la question 2. Une idée ?

    Merci !

    -----


  2. #2
    JB2017

    Re : Champ de température dans une sphère chauffée

    Bonjour
    En écrivant l'équation tu as dû obtenir T''(r)+2/r*T'(r)=0
    où encore r^2T''(r)+2*rT'(r)=0=(r^2T'(r) )'=0.
    Donc r^2 T'(R)=c_1 il reste à intégrer pour avoir T(r)

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