arithmétique maths expertes (terminale)

[Marmus1021]

Bonsoir ! J'ai un exercice d'arithmétique dont je ne trouve pas la dernière question.
Soit n >= 0. F_n = 2²ⁿ +1
1) Montrer que F_n divise F_n+k -2
2) Montrer que F_n+k et F_n sont premiers entre eux.

J'ai réussi la question 1 : en effet F_n+k = (2²ⁿ)^2k +1. On pose x = 2²ⁿ
Or x^2k est toujours multiple de x+1, car -1 est une racine du polynôme, donc on en déduit en remplaçant x par l'expression initiale que F_n divise F_n+k -2
En revanche, je suis bloqué pour la question 2. J'ai essayé de raisonner par l'absurde mais je n'ai pas abouti. Je sais que je dois utiliser le résultat de la question précédente, mais je ne sais pas comment.
Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Considère un diviseur commun de F_n et de F_n+k. Comme il divise F_n, il divise F_n+k-2, donc ...

Cordialement.

[Marmus1021]

Bonjour.
Est-ce que cela fonctionne si je fais comme ceci :
Soit a un diviseur commun de F_n et F_n+k. Alors a divise F_n+k -2, donc a divise (F_n+k -2) - (F_n+k) + F_n, soit a divise F_n -2
Or, pour n = 0, F_n -2 = 1. Donc la seule valeur positive de a est 1 : donc le seul diviseur commun des deux nombres est 1, ils sont premiers entre eux.

[gg0]

Ta démonstration marche, mais comme tu as rajouté l'hypothèse n=1, seulement pour n = 1. Il te reste pas mal d'autres cas à prouver : n=2, n=3, n=4, ... une infinité.

En fait ton énoncé est mal rédigé, il devrait être :

Pour tout n >= 0 on pose F_n = 2²ⁿ +1
1) Montrer que, pour tout entier naturel n et pour tout entier naturel k, F_n divise F_n+k -2
2) Montrer que, pour tout entier naturel n et pour tout entier naturel k, F_n+k et F_n sont premiers entre eux.

Il se trouve qu'on abrège, peut-être est-ce une erreur à ton niveau, ces hypothèses (*) en te laissant comprendre seul que le n est un entier quelconque et que k, non défini est aussi un entier quelconque.

Reprends le même genre d'idée, avec quelque chose de bien plus simple, à partir de "a divise F_n+k -2". Tu verras qu'il n'y a pas beaucoup de choix pour a, dans tous les cas.

Cordialement.
(*) On dit qu'on a "quantifié" les variables.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Marmus1021]

D'accord, mais j'ai cherché cet après-midi et je ne trouve pas comment arriver au résultat. Vous dites que c'est plus simple, donc je pense que je passe à côté d'une propriété évidente ou quelque chose comme ça..

[gg0]

a divise F_n+k-2 et F_n+k, donc il divise F_n+k-(F_n+k-2) = 2
Reste à voir (facile) pourquoi ce n'est pas 2.

A bien comprendre : un diviseur de m et n divise m+n, m-n, km+ln, m², n², ...

Cordialement.