Bonjour, j'ai un devoir maison et je suis bloquée sur cet exercice, veuillez m'aider s'il vous plait
on considère la suite (un), définie par U0= 1 et, pour tout entier naturel n :
Un+1= 1/4Un+ 12.
On note f la fonction définie pour tout réel x > 0 par :
f(x)=1/4x+12
On a alors, pour tout entier naturel n, Un+1= f (Un).
1. a. Démontrer par récurrence que (Un) est majorée par 16.
b. Démontrer par récurrence que (Un) est croissante.
c. En déduire que (Un) est convergente
2. On note , l=lim Un quand n tend vers +inf.
a. Justifier que f est continue sur [0 ; +inf`[.
b. Démontrer que l, vérifie , l= f (l).
c. En déduire la valeur de l.
J'ai réussi la question 1a,b,c et la 2a normalement et je suis bloquée sur la 2a.
1a- Un>16
1/4Un>4
1/4Un+12>16 (sans oublier l'initialisation, hérédité et conclusion)
1b. Un<Un+1
1/4Un<1/4Un+1
1/4Un+12<1/4U(n+1)+12
Un+1<Un+2 (sans oublier l'initialisation, hérédité et conclusion)
1c. Un est croissante et est majorée par 16 donc d'après le théorème de convergence, la suite Un est convergente.
2.a le fonction f est continue car c'est un polynôme du 1er degrés
2b. je bloque mais je pense qu'il faut utiliser les résultats précédents
merci d'avance
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