Suite et fonction
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Suite et fonction



  1. #1
    taliania

    Suite et fonction


    ------

    Bonjour, j'ai un devoir maison et je suis bloquée sur cet exercice, veuillez m'aider s'il vous plait

    on considère la suite (un), définie par U0= 1 et, pour tout entier naturel n :
    Un+1= 1/4Un+ 12.
    On note f la fonction définie pour tout réel x > 0 par :
    f(x)=1/4x+12
    On a alors, pour tout entier naturel n, Un+1= f (Un).
    1. a. Démontrer par récurrence que (Un) est majorée par 16.
    b. Démontrer par récurrence que (Un) est croissante.
    c. En déduire que (Un) est convergente

    2. On note , l=lim Un quand n tend vers +inf.
    a. Justifier que f est continue sur [0 ; +inf`[.
    b. Démontrer que l, vérifie , l= f (l).
    c. En déduire la valeur de l.

    J'ai réussi la question 1a,b,c et la 2a normalement et je suis bloquée sur la 2a.
    1a- Un>16
    1/4Un>4
    1/4Un+12>16 (sans oublier l'initialisation, hérédité et conclusion)

    1b. Un<Un+1
    1/4Un<1/4Un+1
    1/4Un+12<1/4U(n+1)+12
    Un+1<Un+2 (sans oublier l'initialisation, hérédité et conclusion)

    1c. Un est croissante et est majorée par 16 donc d'après le théorème de convergence, la suite Un est convergente.

    2.a le fonction f est continue car c'est un polynôme du 1er degrés
    2b. je bloque mais je pense qu'il faut utiliser les résultats précédents
    merci d'avance

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : suite et fonction

    Bonjour.

    Pour la 2 b), on passe à la limite dans Un+1= f (Un) en utilisant la continuité de f.

    Cordialement.

  3. #3
    taliania

    Re : suite et fonction

    veuillez m'excuser, mais je n'ai pas compris votre réponse�� pouvez vous me l'expliquer autrement s'il vous plaît ?

  4. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : suite et fonction

    Tu as deux suites égales, elles ont la même limite. Quelle est la limite de f(Un) ? Celle de Un+1 ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    taliania

    Re : suite et fonction

    on a Un+1= f (Un), donc la limite de f(Un) c'est la limite de Un+1, donc la limite de Un+1 est f(l)

  7. #6
    manokuj

    Re : suite et fonction

    je ne sais pas si tu connais le théorème de reductions aux suites qui dit que: f est continue au point a , a appartenant à D;
    2. Pour chaque suite (xk) d’éléments de D , on a xk converge vers a alors f(xk) converge vers f(a)
    dans ton cas bah Un converge vers I, f(x) est continu et donc si lim Un=I alors lim f(Un)=f(I) par continuité
    Dernière modification par manokuj ; 28/12/2020 à 19h42.

  8. #7
    taliania

    Re : suite et fonction

    non je n'ai pas encore vu ce théorème

  9. #8
    manokuj

    Re : suite et fonction

    on sait que Un+1=f(Un), Un converge vers l, Un+1 aussi converge vers l par l'unicité de la limite, et donc l=1/4l+12=Un+1=f(l), en gros étant donné que Un et Un+1 converge vers l ensemble, tu peux remplacer Un dans Un+1 par l

  10. #9
    manokuj

    Re : suite et fonction

    et c'est le fait d'écrire l=1/4l+12 qui t'aidera à calculer l

  11. #10
    taliania

    Re : suite et fonction

    ah d'accord j'ai compris, merciii
    et pour la dernière question je dois résoudre l'équation que vous m'aviez donné

  12. #11
    taliania

    Re : suite et fonction

    j'ai une autre question, les réponses que j'ai donné pour les questions précédentes sont bonnes?

  13. #12
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : suite et fonction

    Crois-tu qu'on ne te l'aurait pas dit ??

  14. #13
    taliania

    Re : suite et fonction

    non au contraire

  15. #14
    manokuj

    Re : suite et fonction

    oui, exact tu dois résoudre l'equation

  16. #15
    taliania

    Re : suite et fonction

    j'ai résolu l'équation et j'ai trouvé 16

  17. #16
    taliania

    Re : suite et fonction

    Merci infiniment pour votre aide !!!

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