Loi de Probabilité

[inviteb1d82ffa]

Bonjour,

Je voulais savoir si mon raisonnement pour un exercice était bon:

On considère 2 tirages successifs, sans remise, d'une urne contenant 10 jetons (numérotés de 1 à 10).
On a A = n° du 1er jeton, B=n° du 2nd Jeton.

1- On a 90 tirages différents possibles

2- A suit une loi uniforme sur [1,10], donc pour tout k appartient à [1,10]. P(A=k)=1/10
Donc:
E(A)= 11/2,
V(A)= 33/4

3- L'univers des possibilités de B dépend de la valeur de A. Si A=k, La loi de B est:
P(B=x)=1/9 , pour tout x appartient à: [1,10] - {k}
Donc,
E(B)= (55-k)/9
V(B)= (-10k^2 + 110k +440)/ 81

4- On considère: S= A+B
Pour la loi de S, j'effectue un tableau à double entrée (en faisant attention à ne pas remplir les cases relatives à deux mêmes jetons)
Ainsi, P(S=3)=2/90...

Alors, je trouve que:
E(S)=11
V(S)= 44/3



Pouvez vous me dire si mes résultats sont bons ?
Merci beaucoup.
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[inviteb1d82ffa]

S'il vous plait, est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?
Merci...

[gg0]

OK pour la première question (A); par contre, tu te trompes sur B, dont l'univers des possibles est bien {1,2,3,..9,10}. Tu as confondu avec la variable aléatoire "deuxième tirage sachant qu'on a tiré k au premier". La variable aléatoire est le résultat du deuxième tirage. Quelle est la proba de tirer 1 au deuxième tirage ?

Cordialement.

[inviteb1d82ffa]

Du coup, bien que les variables aléatoires A et B soient dépendantes, B suit une loi uniforme sur [1,10] comme A?
La probabilité de tirer 1 au deuxième tirage est donc: P (A=1)= 1/10 ?
A et B suivent donc tj une loi uniforme quel que soit le tirage (avec ou sans remise) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

"B suit une loi uniforme sur [1,10] ". Peux-tu le justifier ?

[inviteb1d82ffa]

Non je ne crois pas pouvoir justifier, donc ça ne doit pas être ça. B a le même univers de probabilité que A, mais B est la variable aléatoire indiquant le numéro du 2nd jeton. Je ne comprend donc pas comment déterminer la loi de B dont la valeur dépend de la valeur prise par A ?

A moins, que que P(B=x)= 1/10 . 1/9
Car il ne reste plus que 9 possibilité pour le 2nd jeton. Mais je ne suis pas sure du tout.

[gg0]

Tu passes à côté. Applique la règle des probabilités totales (ou fais un arbre, qui illustre cette règle).
En gros, cherche comment tu peux avoir B=1.

[inviteb1d82ffa]

On a 90 issues pour B, dont 9 issues qui sont égales à 1.
D'après la formule des probabilités totales:
P(B=1)= 1/10.1/9 + 1/10.1/9...
P(B=1)= 9. (1/10.1/9)
P(B=1)=1/10

Donc la loi de B est , pour tout x de [1,10]
P(B=x)=1/10

Donc E(B)= 77/2 ,car on a: (somme des carrées de [1,10])/10
V(B)= ((somme des cubes de [1,10])/10) - E(B)^2
Sauf que je trouve un résultat négatif (ce qui n'est pas possible). Donc je ne sais pas à quel endroit j'aurais pu faire une erreur.
Merci de votre aide

[inviteb1d82ffa]

J'ai trouvé mon erreur:
E(B)= 11/2
donc, V(B): 33/4

Est-ce correct ?
Et est-ce que mes réponses pour la variable S sont elles aussi correctes ?

[inviteb1d82ffa]

Mais du coup, les espérances et variances des variables aléatoires A et B ne changent pas malgré que les variables soient indépendantes ou dépendantes ? car j'ai trouvé les mêmes résultats lorsque les variables sont indépendantes (tirage avec remise)

[gg0]

Oui !

Puisque A et B ont la même loi, leurs espérances sont égales et leurs variances aussi. C'est normal, espérance et variance ne dépendent que de la loi (tu as fait des calculs pour rien, tu les avais déjà faits).
Attention, il ne s'agit pas de la même variable aléatoire B suivant que le tirage est fait avec ou sans remise.

En fait, ce résultat sur B est assez intuitif, puisque rien ne peut justifier que le 1 sorte plus souvent que le 2 (ou l'inverse) puisque les jetons sont au départ équiprobables. Maintenant, ce fait intuitif est validé par une preuve.

Cordialement.

[inviteb1d82ffa]

Merci beaucoup!

Et pour S = A+B ? Ai-je la bonne démarche ?
Vis-à-vis de la variance de S, il m'est conseillé d'utiliser la formule donnant la somme des cubes d'entiers. Mais j'ai trouvé un résultat sans utiliser cette formule car je ne vois pas à quel moment l'utiliser...

[gg0]

Les valeurs sont bonnes. On les obtient bien en examinant les 90 cas élémentaires (*) équiprobables A=i, B=j avec i et j de 1 à 10 et j différent de i.
L'utilisation de sommes de cubes servirait s'il y avait beaucoup plus de jetons, ou un nombre variable n de jetons.

Cordialement.

(*) j'ai utilisé un tableur.

[inviteb1d82ffa]

D'accord.
Merci du temps que vous m'avez accordé, vous m'avez beaucoup aidé.
Cordialement.