Longueur d'une bobine de ruban plat suivant son diamètre ext et intérieur

[trebor]

Bonjour à tous et à ceux qui aiment les maths.
Questions par curiosité, j'ai ouvert une cassette VHS qui était h.s.
1- Quelle est la longueur du film plat très fin (mesuré à 0,2/10ème de mm soit 20 micromètres) ?
2- Combien de tour de bobine pour la dérouler totalement ?

Le diamètre extérieure de la bobine mesure 72 mm et son diamètre intérieure 26 mm.
Afin de parvenir à mesurer cette épaisseur au pied à coulisse, j'ai superposé 20 rubans, résultat 4/10ème de mm.
Chaque tour donne une longueur de ruban suivant le périmétrie extérieure.
A chaque tour le diamètre ext se réduit de 20 microns.
Le périmètre ext de la bobine se réduit également à chaque tour.
Peut être existe-il des formules pour y parvenir ?
Merci
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[Médiat]

Peut être existe-il des formules pour y parvenir ?

Bonjour,

Le plus simple pour la longueur (approximatif, mais largement suffisant dans ce cas) est de calculer la surface de la couronne entre r=26 et r=72, et de diviser le résultat par l'épaisseur du ruban ; pour le nombre de tours il suffit de diviser 72-26 par l'épaisseur

[Liet Kynes]

Bonjour,

Le problème ne peut-il être aborder comme pour le calcul de la longueur d'une spirale? On peut déduire l'écart entre 2 spires par la différence entre l'épaisseur obtenue avec la somme des épaisseurs de n rubans superposés et n fois l'épaisseur de 1 ruban (encore que j'imagine que la pression sur le matériaux ne doit pas être identique entre l’extérieur et le centre).

[gg0]

Bonjour Liet Kynes.

Bien sûr, tu connais la formule de la longueur de la spirale ... au fait, c'est quelle spirale (il en existe une infinité, dont certaines ont des noms).

Trebor : Compte tenu de l'élasticité du ruban et de l'imprécision sur l'épaisseur, la méthode de Médiat donne un excellent résultat, par un calcul simple. Les papetiers, confrontés à ce genre de problème (longueur d'une bobine de papier quand la fabrication a été interrompue) utilisent un moyen très différent : Peser la bobine pour avoir le poids de papier. Le grammage étant connu, on obtient la surface totale de papier, puis sa longueur.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Liet Kynes]

Oui j'étais en train de chercher comment définir cette spirale et ce n'est pas si simple: je suis tombé la dessus https://numerisation.irem.univ-mrs.f...9/IWR00019.pdf qui est intéressant mais m'indique au point 2.3. "Pour les enseignants :quelques sujets de réflexion" que ce que tu me dis m'explique le pragmatisme de Médiat.

C'est encore un problème qui peut déclencher l'impression qu'une solution exacte et simple peut exister dans un esprit non éduqué au sujet comme le mien

[jiherve]

Bonsoir
j'avais il y a longtemps eu à me confronter à ce probleme et il est ardu car si ma mémoire est bonne on tombe sur des intégrales elliptiques.
JR

[Médiat]

En prenant une spirale d'Archimède, l'intégrale est facile à calculer

[Médiat]

En prenant le calcul approché de mon message #2 je trouve 708,115 m
En faisant le calcul avec l'intégrale, je trouve 708,114m, cela ne valait vraiment pas le coup ni le coût

[trebor]

Bonjour,

Le plus simple pour la longueur (approximatif, mais largement suffisant dans ce cas) est de calculer la surface de la couronne entre r=26 et r=72, et de diviser le résultat par l'épaisseur du ruban ; pour le nombre de tours il suffit de diviser 72-26 par l'épaisseur

Pour le nombre de tour, effectivement c'est simple, épaisseur de la couronne divisée par l'épaisseur du ruban.
36-13 = 23/0,002 = 11500 tours.
Pour la longueur en suivant ton conseil, mais l'ai-je bien compris ?
Surface de couronne : 4071-530 = 3541 mm²/0,002 = 1770500 mm soit 1770,5 mètres.
Une autre approche si c'est conseillé ?
La circonférence moyenne entre le diamètre extérieure et intérieure de la bobine
72*3,1416 = 226 mm
26*3,1416 = 81 mm
Moyenne : 226+81 = 307 mm /2 = 153,5 mm * 11500 Tours = 1765250 mm soit 1765 mètres.

Mediat, comment as-tu trouvé 708 mètres, ou est mon erreur ?
Merci

[Médiat]

(72²-26²)*pi/.02 = 708115 mm

[trebor]

(72²-26²)*pi/.02 = 708115 mm

0,4 mm / 20 = 0,02 mm et non 0,002 mm
Nombre de tour : épaisseur 23 mm /0,02 mm = 1150 tours et 708 mètres.
Merci

[Liet Kynes]

En prenant le calcul approché de mon message #2 je trouve 708,115 m
En faisant le calcul avec l'intégrale, je trouve 708,114m, cela ne valait vraiment pas le coup ni le coût

Pour une bobine peut-être mais l’industriel qui en fabriquerait des millions par an trouverait un coût raisonnable dans la rémunération de vos calculs