Intervalle I d'une fonction et dérivée

[ChristopheLeblanc]

Bonjour,

Quelque chose m'échappe dans cet exercice:

Pour commencer, on donne cette définition:

"On dit que f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout réel a de I. On appelle fonction dérivée de f la fonction qui, à tout réel x de I, associe le réel f′ (x). On la note f′."

L'énoncer de l'exercice est le suivant:

Dérivée, Intervalle I.jpg

Et la solution:

Dérivée, Intervalle I (2).jpg

Ici, I semble n'être que le domaine de définition de f(x), hors je comprenais de la définition qu'il s'agissait plutôt du domaine de f'(x) (ensemble des réels par lesquels la fonction est dérivable, à ma compréhension ça ne comprendrait donc pas 0 dans ce cas ci). Apparemment, le domaine de f'(x) serait plutôt J dans l'exercice. Mais du coup, je ne comprend pas la manière dont est donnée la définition de I.

Merci d'avance pour vos éclaircissements.
-----

[gg0]

Bonjour.

C'est une très mauvais exercice (énoncé) et un très mauvais corrigé.

Il y a une infinité d'intervalles I possibles. "Déterminer l'ensemble I" ne veut rien dire. "I=[-5,4] est une réponse possible, qui n'a rien à voir avec la fonction, mais la question n'a pas de sens : C'est quoi I ?
On peut, bien sûr, se poser la question du plus grand ensemble sur lequel f est définie ("ensemble de définition") par l'écriture proposée (qui ne définit pas précisément une fonction, il n'est pas dit où on prend x). Dans ce cas, la partie I du corrigé convient.
On peut ensuite s'interroger sur le plus grand ensemble où f est dérivable ("domaine de dérivabilité), nécessairement contenu dans le précédent. Là, le corrigé est incorrect, il justifie que f est dérivable sur ]0,+oo[, mais pas que c'est le domaine de dérivabilité : Il ne traite pas la question de la dérivabilité de f en 0. Dire que n'est pas dérivable en 0 ne suffit pas !! Par exemple la fonction :

définie sur [0,+oo[ est dérivable sur [0,+oo[ (eh oui, elle est dérivable en 0). Et la fonction
est définie et dérivable partout.

Donc un exercice mal posé, et mal corrigé.

Cordialement.