Bonjour et merci de prendre le temps de me lire,
j'ai un dm de maths à faire mais je ne comprend pas très bien:
Le but de cet exercice est de déterminer la limite de la suite (Un)n>1 définie par Un= (1+(1/n)^n
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x )= exp^x-x-1
1°) a) Etudier les variations de la fonction f .
b) En déduire que : ∀𝑥 ∈ℝ , 𝑓(𝑥≥0.
2°) Justifier brièvement que : pour tout entier naturel n non nul, la fonction x--> x^n est
strictement croissante sur ]0; +infini[ et que la fonction x--1/x^n est strictement décroissante sur ]0; +infini[
.
3°) En déduire, à l'aide de 1°), les inégalités ( 1) ( 2) et suivantes :
Pour tout entier naturel n non nul : (1 ) exp^(n/1)> strictement 1+(1/n) puis que (2 )exp^(-1/(n+1)) > strictement à 1-(1/(n+1))
4°) a) En utilisant (1 )et 2°), démontrer que pour tout entier naturel n non nul : (1+(1/n))^n<strictement exp
b) En utilisant (2 )et 2°), démontrer que pour tout entier naturel n non nul : esp <strictment (1+(1/n))^(n+1)
5°) Déduire des questions précédentes un encadrement de (1+(1/n))^(n+1) puis lim un lorsque n-> +inifni
pour la 1a j'ai trouvé la dérivée qui est esp^x-1 et j'ai dis que elle etait négative pour x<o et positive pour x>0 donc que f(x) est décroissante lorsque x appartient à -infini 0 et croissante sur 0 + infini.
Pour la b jej'ai dis qu'il y avait un minimum en 0 et que f(x) >f(0) = f(x) > 0
pour la 2 comprend tout à fait que c'est vraie mais je ne sais pas comment le prouver sachant que je n'ai pas fait la fonction puissance de x (hérédité peut être ?)
pour la 3,4, 5 je suis en train de chercher
merci d'avoir prix le temps de me lire en espérant que vous m'aidiez.
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Envoyé par prch 