Bonjour, pourriez vous jeter un coup d’oeil a mon grand oral de maths, je ne sais pas s’il y a assez de contenu «*mathématique*» ( seulement somme suite geometrique et ouverture logarithme et exponentielle):
Pourquoi vais-je investir 400 euros en bourse chaque mois durant ma vie active?
Avant toute chose sachez que mon oral n’est pas une incitation à l’investissement. Actuellement, en France, l'âge légal à partir duquel nous avons le droit de prendre notre retraite est fixé à 62 ans. Néanmoins, cette limite aura sûrement eu le temps d'évoluer durant la période qui éloigne ma génération de ce seuil. Nous avons donc tout intérêt à nous préoccuper de notre avenir financier le plus tôt possible.
Nous allons donc voir pourquoi je vais investir 400 euros en bourse chaque mois durant ma vie active.
Avant de commencer à répondre à cette question je voudrais vous définir ce qu’est la bourse. La bourse est un lieu, aujourd'hui dématérialisé, où s'échangent les titres financiers comme des actions, par exemple, qui sont des parts d’entreprises. Vous pouvez donc devenir actionnaires chez les plus grands groupes internationaux à l’aide de quelques dizaines d’euros seulement. Par ailleurs, la plupart des milliardaires détiennent la majorité de leur patrimoine sous formes d’actions.
Nous verrons, d’une part l’application des suites géométriques aux calculs de notre capital et d’autre part quelle est la somme à investir pour devenir un retraité millionnaire.
Tout d’abord, imaginons que nous investissons une somme d’argent fixe chaque mois rémunérée à taux fixe. Notre objectif va alors être de calculer le capital accumulé après avoir versé un certain nombre de mensualités.
Pour cela, on pose :
Cn: le capital après n mensualités
t: le taux d’intérêt mensuel
n: le nombre de mensualités
et
a: le montant de la mensualité en euros
Quand on place un capital a à un taux d’interet mensuel de t pendant n mois, le capital accumulé C est de :
C=a(1+t)**n
Par exemple si j’investis 100 euros le 1 er janvier dans un placement à 5 pourcents d'intérêts par mois que je laisse fructifier pendant 2 mois alors au 1 er février ce capital aura été multiplié par 1.05 ce qui nous donnera un capital de 105 euros puis au 1er mars ces 105 euros auront eux mêmes été multipliés par 1.05 et deviendront donc 110.25 euros. Nous retrouvons donc C=100*(1+5/100)**2
Nous pouvons observer que :
-Pour la 1re mensualité a, nous avons (n − 1) mois d’intérêt, soit un capital accumulé de :
a*(1 + t)**(n−1)
-Pour la 2e mensualité a, nous avons (n − 2) mois d’intérêt, soit un capital accumulé de :
a*(1 + t)**(n−2)
Et ainsi de suite, nous retrouvons donc que pour la ne mensualité a, nous avons 0 mois d’intérêt, soit un capital accumulé de :
a*(1 + t)**0 = a
On en déduit donc que le capital Cn, après n mensualité est :
Cn = a[1 + (1 + t)**1 + (1 + t)**2 + · · · + (1 + t)**(n−2) + (1 + t)**(n−1)]
Il s’agit donc de la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de premier terme a et de raison (1 + t), on a donc :
Cn = a (1 − (1 + t)**n ) / (1 − (1 + t))
Ce qui se simplifie en :
Cn = a ((1 + t)**n − 1) / t
Nous avons donc réussi à trouver une formule qui nous permet de calculer de manière précise le capital détenu après n mensualités.
Désormais il ne reste plus qu’à l’appliquer.
Par ailleurs, nous pouvons considérer que sur le long terme la progression annuelle du cours des actions en bourse est stable et équivaut à une augmentation de 7 pourcents. Grâce aux outils que sont le logarithme népérien et la fonction exponentielle on retrouve un taux d'intérêt mensuel d’environ +0.57 pourcents.
Ainsi, supposons que je commence à investir en bourse à 25 ans une somme fixe notée a de manière mensuelle et que je prenne ma retraite à 65 ans.
D’après la formule trouvée précédemment j’aurais donc un capital de:
C480 = a ((1 + 0.0057)**480 − 1) / 0.0057
En résolvant une inéquation nous retrouvons que pour a> 398.44 C480>1 000 000
Nous pouvons donc tous être millionnaire en investissant en bourse au moins 398 et 44 centimes chaque mois pendant 40 ans!
Je pense qu’un million devrait me suffire pour vivre paisiblement jusqu’à la fin de mes jours à partir de 65 ans sans compter les entrées d’argent de la retraite.
Malgré tout il existe des limites à ce modèle mathématique,
En effet, il ne prend pas en compte les frais liés aux intermédiaires (brokers) et les taxes françaises sur les plus-values. Par ailleurs, un avertissement que tout investisseur se doit de connaître est le suivant: “les performances passées ne préjugent pas des performances futures”.
Néanmoins vous savez maintenant pourquoi je compte investir une somme de 400 euros par mois dès que je serai dans la vie active.
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