Valuations 2 adiques

[Liet Kynes]

Bonjour,

j'ai trouvé les relations suivantes pour les valuations 2 adiques, en utilisant le triangle de Pascal, on tombe sur les nombres hexadécimaux.

v(2)+2*v(2)4+(v2)6=2*((2*2)-1)
v(2)2+2*v(2)4+3*(v2)6+2*v(2)8+ v(2)10=3*((2*3)-1)
v(2)2+2*v(2)4+3*v(2)6+4*v(2)8+ 3*v(2)10+2*v(2)12+v(2)14=4*((2 *4)-1)
v(2)2+2*v(2)4+3*v(2)6+4*v(2)8+ 5*v(2)10+4*v(2)12+3*v(2)14+2*v (2)16+v(2)18=5*((2*5)-1)
v(2)2+2*v(2)4+3*v(2)6+4*v(2)8+ 5*v(2)10+6*v(2)12+5*v(2)14+4*v (2)16+3*v(2)18+2*v(2)20+v(2)22 =6*((2*6)-1)
v(2)2+2*v(2)4+3*v(2)6+4*v(2)8+ 5*v(2)10+6*v(2)12+7*v(2)14+6*v (2)16+5*v(2)18+4*v(2)20+3*v(2) 22+2*v(2)24+v(2)26=7*((2*7)-1)

Je cherche à en savoir plus à ce propos, vers quoi dois-je m'orienter comme approche ?
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[gg0]

Bonjour.

À toi de généraliser, sachant que, de façon évidente, les valuations successives valent 1, 2,
1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2,...
Et à quoi cela sert-il ?

[Liet Kynes]

Comme un nombre paire sur deux a pour valuation 2-adique 1, je peux remplacer à chaque étape par la somme des valeurs 1.

v(2)+2*v(2)4+(v2)6=1*v(2)4+1=2 *v(2)4+2=1*v(2)4+1=2*((2*2)-1)
1+2*v(2)4+3*1+2*v(2)8+1=2*v(2) 4+2*v(2)8+5=3*((2*3)-1)

Pour ces sommes de valuations 2-adiques=1 correspond à la somme des lignes de rang n donc 2^n et la formule des nombres hexadécimaux est 2*((2*n)-1 il me reste à généraliser les valuations 2-adiques>1: je ne sais pas trop comment, je vais chercher.

Et à quoi cela sert-il ?

Perso je cherche un truc pour me repérer dans cette suite 1,2,1,3,1,2,1,4.. quand on l'obtiens avec des nombres paires qui ne sont pas distants de 2: la suite commence par exemple par 5 et continue 5,1,2,1,3,1,2,1... comme les termes se répètent je ne sais pas à quel 5 cema peut correspondre dans la suite donnée avec des nombres paires distants de 2.

Sinon, je me demande si l'on peut déduire de cela la distance d'un grand nombre paire d'avec le premier nombre de la forme 2^n qui lui est inférieur et idem avec celui qui lui est supérieur ?

[Liet Kynes]

Comme un nombre paire sur deux a pour valuation 2-adique 1, je peux remplacer à chaque étape par la somme des valeurs 1.

v(2)+2*v(2)4+(v2)6=1*v(2)4+1=2 *v(2)4+2=1*v(2)4+1=2*((2*2)-1)
1+2*v(2)4+3*1+2*v(2)8+1=2*v(2) 4+2*v(2)8+5=3*((2*3)-1)

Pour ces sommes de valuations 2-adiques=1 correspond à la somme des lignes de rang n donc 2^n

C'est faux, pour la somme des valeurs 1 c'est :

Si n impaire: (n^2)/2
Si n paire: ((n^2)+1)/2

on en déduit la somme des valeurs 2 adiques>1:

Si n paire: (2*((2*n)-1)-(n^2)/2
Si n impaire (2*((2*n)-1)-((n^2)+1)/2

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Encore une fois, il suffit de revenir à la signification de la valuation. Si on a un 5, c'est qu'on en était à un multiple de 32 qui n'est pas un multiple de 64. Ça s'algébrise en le notant 64k où k est impair. Les pairs suivants sont 64k+2, 64k+4, 64k+6,... dont les valuations sont évidentes.

Pour ta question finale, comme tu utilises un n non défini, difficile de dire, mais probablement oui. Et encore une fois, tu brasses surtout du vent.

[Liet Kynes]

Oui j'ai bien compris le principe mais c'est justement dans l'application de ce principe que je me pose ces questions.

Je cherche à comprendre "a" et "b", dans l'application de la formule (basée sur la conjecture de syracuse: mais ce n'est pas cela qui m'intéresse):

3ax+(3^a-2^a)/2b=y

Pour x, les nombres impairs pris dans l'ordre croissant, je trouve les valuations 2-adiques pour a selon la suite http://oeis.org/A001511

4.JPG

Par contre si je fixe a comme ci dessous avec a=5 , x est incrémenté de 64 en 64 donc (2^6) et les valeurs de b prennent la forme de la suite A001511 mais je ne sais pas situer où:

5.JPG

C'est là le problème.

[gg0]

Mais justement, si on était capable de trouver a et b sans connaître le nombre, le problème serait résolu. Donc inutile de demander aux autres, si quelqu'un était capable de te donner une réponse, il publierait en son nom !
Tu penses bien que cette piste a été explorée depuis plus d'un siècle.

[Liet Kynes]

Mais justement, si on était capable de trouver a et b sans connaître le nombre, le problème serait résolu. Donc inutile de demander aux autres, si quelqu'un était capable de te donner une réponse, il publierait en son nom !
Tu penses bien que cette piste a été explorée depuis plus d'un siècle.

Ben je me doute bien que oui mais j'en suis plus à chercher comment ce problème est posé.
Quand tu dis connaître a et b sans connaître le nombre je ne comprends pas, on a quand même ou x ou y si on a "x" alors a et b ont une seule solution mais si on a "y" a et b on une infinité de solutions, mais pas n'importe comment non plus: c'est bien cela?

[gg0]

Je ne sais pas. Je ne comprends pas ce baratin.
On est ici sur un forum de maths.

[Liet Kynes]

Je ne sais pas. Je ne comprends pas ce baratin.
On est ici sur un forum de maths.

Bon j'ai repensé ma démarche et j'ai simplifié l'idée. Le but est de comprendre mieux.

Je considère les suites:

v(2)2
v(2)2,v(2)4
v(2)2,v(2)4,v2(6)

je ne sais pas si c'est correct d'écrire : pour x un nombre pair, v2(x) à v2(2x-2).

Il est évident qu'un nombre pair sur deux à pour valuation 2-adique 1,puis 2 pour un nombre pair sur 3 etc.. Je sais raisonner pour trouver que la valuation 2-adique d'un nombre de la forme 2^n est égale à la racine de ce nombre +1 mais j'ai du mal à l'exprimer en mode non-baratin.

J'ai et c'est mon problème que des relations ou observations, le gros truc c'est que je suis infichu de trouver par où commencer pour montrer la logique de ces relations en écrivant quelque chose de propre dans mon esprit.

Ci-dessous ce que j'ai fait, j'arrive à l'impasse de déduire les valuations > à 2 en raisonnant sur x et x+2 :

Pièce jointe 462675

Je n'ai pas relu (j'ai laissé peut-être quelques erreurs )

et ci-dessous ce que je veux mieux comprendre, j'aime le côté "fractal" :

Pièce jointe 462676

Donc voilà, le travail d'analyse et d'explication est peut-être vulgarisé dans un document ou l'autre sans rentrer dans une complexité de haut niveau ?

[gg0]

La question n'est pas de savoir si c'est "correct" mais de s'exprimer clairement. "Pour un nombre x de v2(x) à v2(2x-2)" est une phrase aberrante, il n'y a pas de verbe, même sous-entendu. Ce n'est pas sérieux ! Alors je ne vois pas l'intérêt d'aller plus loin.
Commence par éclaircir tes idées, en les rédigeant de façon claire et précise (" ce qui se conçoit bien s'énonce clairement"). Sans cela, tu n'as pas vraiment d'idée.
,

[Liet Kynes]

Ah ben c'est ce que j'essaie de faire, j'avais mis des PJ mais elles sont "non valides"
je fais une autre tentative avec les PJ.

La phrase que je voulais écrire (il y a effectivement un bout qui manque)

Je considère, pour x un nombre pair, la suite des valeurs 2-adiques de v2(x) à v2(2x-2).

roller 2.JPG
roller.jpg

[Liet Kynes]

J'ai compris entre a et b pour ma formule, j'ai ce qui me manquait en fait la suite 2-adique se retrouve bien mais d'une façon différente, elle se multiplie, je vais lire l'article de DELAHAYE sur 2^n (je viens de reprendre mon abonnement) il parle des suites d'entiers fractales:

[Liet Kynes]

Je veux écrire l'idée correctement,

Je commence par rédiger :
Partie 1
Soit la formule avec x un nombre pair et a et b sont des entiers non nuls et ont pour valeur
pour la valuation 2-adique de x+1 notée v2(x+1) et b la valuation 2 adique de notée .

Pour n=0, a=n+1=1, x est de la forme 4n + 1
Pour n=1, a=n+1=3, x est de la forme 8n + 3
Pour n=2, a=n+1=3, x est de la forme 16n+7
Pour n=3, a=n+1=4, x est de la forme 32n+15
Pour n=4, a=n+1=5, x est de la forme 64n+31 etc..

Ici, je but sur un problème, je voudrais ajouter que la forme des nombres x pour fixé selon est
mais cela me semble maladroit.

Partie 2: pas encore rédigée
Ensuite je veux décrire la valeur de b en fonction de a et x et là pour le moment je n'y arrive pas il me reste à généraliser les relations:

En préambule je voudrai écrire :

Pour a fixé, les valeurs de b pour les nombres formés par une suite déterminée par n ci-dessus correspondent aux valeurs de a pour la suite des nombres impairs dans une succession d’intervalles.

C’est tout pour l’instant.

J’ai du boulôt à finir la dessus mais l’idée est la suivante*:

Exemple pour a fixé à 1 :

La forme des nombres est 4n+1, c'est une suite de raison 4 qui commence par 1 (4*0+1=1)*: 1,5,9,13,17,19,23,27,31,35..

les valeurs de b de cette suite de raison 4 sont celles de a dans la suite 2n+1 (de raison 2) pour des intervalles de raison 4n+1 :1,5,21,85,341

En creusant un peu je trouve que les valeurs de b de la suite de raison 4 sont les n (là il y a une formule que je dois formaliser) derniers nombres avant un nombre de Mercenne dans la suite de raison 2, par exemple les valeurs de b des 85 premiers termes de la suite de raison 4 sont les valeurs de b des 85 termes successifs jusqu’à 511 de la suite de raison 2.


Voilà, est-ce que la partie 1 commence bien ? Et est-ce que l’idée de généralisation des formes est bonne ? (la partie 2 c’est le charabia habituel)

[Liet Kynes]

Ensuite je veux décrire la valeur de b en fonction de a et x et là pour le moment je n'y arrive pas il me reste à généraliser les relations:

Bonjour,

J'ai pas trouvé grand chose:


- Pour la formule 3ax+(3^a-2^a)/2b=y (avec x et y impaires et a et b des entiers positifs non nuls) "a" peux prendre n'importe quelle valeur entière supérieure ou égale à 1 pour tout y et b est compris entre 1 et 2*3^(a-1).

- J'ai une équation qui fonctionne sous Wolfram: pour certaines valeurs de x Wolfram me renvoie a, b et y

((3^a ((3^a x + (3^a - 2^a))/2^a + x) + (3^a - 2^a))/2^a)/2^(b - a) = (2^a + 3^a) y

Cela marche pour les x suivants (j'ai testé jusqu'à 151) : 3, 9, 13, 15, 21, 23, 35, 37, 53, 85, 99, 149, 151 mais pas de correspondance dans OEIS.

La question est quelle est la méthode de calcul de Wolfram pour trouver les valeurs de a,b et y ? J'ai pas d'abonnement et donc pas la possibilité de "unlock the full solution"

[Liet Kynes]

Bonjour,

J'ai pas trouvé grand chose:

- Pour la formule 3ax+(3^a-2^a)/2b=y (avec x et y impaires et a et b des entiers positifs non nuls) "a" peux prendre n'importe quelle valeur entière supérieure ou égale à 1 pour tout y et b est compris entre 1 et 2*3^(a-1).

J'ai trouvé une logique pour connaître b en fonction de a qui réduit le nombre de possibilités à 3.
Comme il n'y a pas de prédécesseur pour les multiples de 3, on peut commencer chaque suite par un multiple de 3 et travailler sur des égalités .
(En fixant "a" pour la recherche de prédécesseurs on finit toujours sur un multiple de 3)

[Liet Kynes]

Je complète mon message précéédent:

Si (((3^a*x)+(3^a-2^a))/2^a)/2^b=y, la formule pour trouver un prédécesseur de y est (((y*2^b)*2^a)-(3^a-2^a))/3^a=x

y est de la forme (6*n+(-1)^n-3)/2 donc impaire non multiple de 3 mais (((y*2^b)*2^a)-(3^a-2^a))/3^a=x accepte un résultat de la forme 2*n +1 pour tout y.

Si on fixe a en réitérant (((y*2^b)*2^a)-(3^a-2^a))/3^a=x et en choisissant le plus petit b offrant une solution entière on fini par tombé sur un multiple de 3.

Donc on peut partir sur l'idée de suites finies que l'on peut comparer en choisissant le plus petit multiple de trois predecessur de chaque nombre de forme (6*n+(-1)^n-3)/2

b est compris entre 1 et 2*3^(a-1) . En fixant "a" il est possible de former tous les nombres de forme (6*n+(-1)^n-3)/2 et d'obtenir un cycle pour les valeurs de b ou b est compris entre 1 et 2*3^(a-1)
Par exemple en fixant a=2 on obtiens b compris entre 1 et 6 (=2*3^(2-1)) :

a2.jpg

Un truc intéressant pour visualiser la régression obtenue dans une suite de syracuse:
on conserve les valeurs successives de a et b et on substitue le premier nombre avec 0 puis on divise par les valeurs y obtenues avec le x de départ, la régression tend vers 1 (si on continue l'itération une fois atteint y=1)
reg.jpg

Je joins un fichier ods pour qui est intéressé par le sujet, c'est peut-être plus simple que mes explications

Pour ces formules je ne trouve pas de références ou d'études dessus: si quelqu'un en connait cela m'intéresserait

[Liet Kynes]

Pour ces formules je ne trouve pas de références ou d'études dessus: si quelqu'un en connait cela m'intéresserait

Bonjour, j'ai pigé un truc, je ne m'étais pas penché sur la problématique de la conjecture mais je l'ai fait depuis quelques jours..
C'est quand même assez bête comme truc... je poste cela tout à l'heure, pas le temps maintenant.

à priori je pouvais chercher longtemps de la littérature sur cette formule, c'est bien cela?

[Liet Kynes]

Donc le truc (vite fait, je peaufinerai plus tard): si on raisonne sur le fait qu'avec la formule faisant passer directement un impair sans lister la série d'impairs ascendante et la série de paires descendante, il apparait trivialement que les nombres impairs intermédiaires ne pourront pas former un cycle.
Du coup seul sont éligibles les impairs pour lesquels lorsqu'on leur additionne 1 la valuation 2-adiques du nombre pair obtenu est supérieur à 1.
Ces nombres sont de la forme 4*n + 3, parmi eux l'itération de la formule renvoie vers des nombres qui ne sont pas 4*n+3 pour un nombre sur 4 et il ne reste donc que les nombres de la suite référencée A092899.
L'itération de la formule sur cette suite permet de réduire les séquences et d'éliminer considérablement les candidats, comme je n'ai pas de commentaires portant sur Collatz dans la description de A092899 j'en conclu que la formule développée n'est pas encore étudiée.

[gg0]

" j'en conclu que la formule développée n'est pas encore étudiée" Quelle absence de sens commun !!
Il y a de nombreuses raisons à l'absence de ces commentaires, ne serait-ce que parce que ça n'apporte rien.
Collatz est la préoccupation principale de nombreux amateurs incompétents, ce n'est pas un sujet pour la plupart des mathématiciens, et ceux qui s'y sont intéressé (*) ont généralement évité de publier le fait qu'ils n'ont rien pu prouver. Ceux qui ont rencontré cette suite l'ont fait dans un cadre tout différent.

Évite l'erreur enfantine "je m'y intéresse, donc c'est important pour tout le monde".

(*) généralement pour s'amuser, car on ne connaît aucune utilité mathématique à cette conjecture, aucune conséquence intéressante, elle n'est jamais apparue en lien avec un problème mathématique.

[Liet Kynes]

Je ne trouve pas cela important et d'ailleurs donner de l'importance est une démarche fallacieuse.
Le truc c'est que justement pour les gens incompétents comme moi c'est une procrastination utile, un peu comme les mots croisés ou le jeu d'echec car cela force à la réflexion et fait rencontrer quelques concepts. Quelques notions de maths se développent (pas grand chose mais c'est mieux que rien).
Il faut bien comprendre qu'apprendre les maths n'est pas motivant dans certains cas: il faut déjà être câblé pour et ensuite y trouver une satisfaction.
Avec cette conjecture je trouve des formules, des arborescences, des relations etc.. une sorte de collection de propriétés complètement inutiles dans le sens ou le "jai trouvé un truc" ne devient jamais vraiment "jai compris un truc" .

Le fait de ne pas trouver d'études de cette fonction est frustrant: les idées que je voulais creuser un peu pour cette fonction sont sur la suite https://oeis.org/A001511 qui se trouve déclinée de différentes façons, de la combinatoire et la compréhension des ensembles de départ et d'arrivée.

[Liet Kynes]

"la compréhension des ensembles de départ et d'arrivée"

C'est là qu'il me manque des notions importantes.

L'ensemble de départ et d'arrivée est, il me semble, le même ensemble défini par a(n) = (6*n + (-1)^n - 3)/2, n élément de N*, je ne sais pas si j'utilise le bon vocable.

Si j'appelle cet ensemble C et S(m) une fonction de C dans C telle que S(m)=(((3^a*m)+(3^a-2^a))/2^a)/ 2^b

Avec

m élément de C
a = la valuation 2-adique de m+1 ,
b = la valuation 2-adique de (((3^a*m)+(3^a-2^a))/2^a)

L'application de S(m) de C dans C est Surjective ?

[Liet Kynes]

Discussion à fermer, excusez-moi de la gène occasionnée, je n'avais pas perçu l'agacement généré par mes messages.

[Liet Kynes]

Il y a de nombreuses raisons à l'absence de ces commentaires, ne serait-ce que parce que ça n'apporte rien.
Collatz est la préoccupation principale de nombreux amateurs incompétents, ce n'est pas un sujet pour la plupart des mathématiciens, et ceux qui s'y sont intéressé (*) ont généralement évité de publier le fait qu'ils n'ont rien pu prouver. Ceux qui ont rencontré cette suite l'ont fait dans un cadre tout différent.

Évite l'erreur enfantine "je m'y intéresse, donc c'est important pour tout le monde".

Il y a une relation avec les nombres premiers quand même, pas visible d'emblée mais intéressante, je travaille dessus, la conjecture n'est pas un sujet en lui même.

[Liet Kynes]

Mais justement, si on était capable de trouver a et b sans connaître le nombre, le problème serait résolu. Donc inutile de demander aux autres, si quelqu'un était capable de te donner une réponse, il publierait en son nom !
Tu penses bien que cette piste a été explorée depuis plus d'un siècle.

Je déterre ce post, les valeurs de a sont celles de la suite <a href="https://oeis.org/A001511" target="_blank">https://oeis.org/A001511</a> on a ainsi une égalité pour pour les nombres impairs compris entre et et les nombres impairs compris entre et pour tout ,

pour cette égalité est vraie pour un nombre de valeurs de entre les deux intervalles définis ci-dessus

Pour

Il y a égalité des valeurs de pour et :
1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
Les valeurs de sont

pour :
1 3 3 1 1 1 2 4 1 2 5 4 1 1 2

et pour :
1 4 3 1 1 1 2 1 1 2 4 2 1 1 2

Donc valeurs de qui diffèrent entre les deux intervalles. (voir PJ)

[Liet Kynes]

Bon j'ai trouvé que pour que a et b soit égaux pour deux nombres différents x et y par exemple on a y=x+(k*(2*2^(a+b))). k est un entier >0