Problème d'intégration

[Taguimdjeu]

Salut
Je n'arrive pas à calculer
Ça me casse la tête depuis. Celui qui m'a donné le défi m'a demandé de poser une variable u=tan(x/2) mais jusque là j'ai pas réussi. Aidez moi
Merci d'avance
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[mach3]

Peut-être un coup à jouer avec l'expression intégrale de arctan ? https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncti...e_d%C3%A9finie

m@ch3

[albanxiii]

Bonjour,

Ça me casse la tête depuis. Celui qui m'a donné le défi m'a demandé de poser une variable u=tan(x/2) mais jusque là j'ai pas réussi. Aidez moi

Ça vient des règles de Bioche. Avec ce changement de variable on se ramène à intégrer une fraction rationnelle, donc décomposition en éléments simples, etc. Cela peut devenir parfois très calculatoire, mais on s'en sort.

Mettez vos calculs si vous voulez qu'on voit où ça bloque et qu'on puisse vous guider.

[Taguimdjeu]

Voici ce que j'ai fait,
Soit I l'intégrale,

[A voir en vidéo sur Futura]

[jiherve]

bonjour,
piste : 1+u² = (1+u)² -2u!
JR

[mach3]

ne faut-il pas aussi transformer dx en une fonction de u que multiplie du (et changer en passant les bornes de l'intégrale) ?

m@ch3

[Taguimdjeu]

Ok,

Je sais plus quoi faire

[gg0]

Méthode classique d'intégration d'une fonction rationnelle : factorisation évidente puis usage des formules de terminale.
Le problème, c'est que ça ne donne pas le résultat de la première intégrale !! Tu as une erreur dans ton calcul ... dans la formule de tan(2a).
Reprends ton calcul ...

NB : La multiplication s'écrit avec un symbole différent de la lettre X : \times.

NBB : il y a des méthodes plus simples, mais pas évidentes, on en parlera ensuite.

[Archi3]

Voici ce que j'ai fait,
Soit I l'intégrale,

l'erreur est là, la vraie formule est avec un signe -. Après ça marche bien ...

[Taguimdjeu]

J'ai vu l'erreur merci. Mais ça n'arrange rien je calle sur

[gg0]

Méthode classique d'intégration des fractions rationnelles :
* décomposer en éléments simples
* intégrer séparément chaque terme de la somme

[gg0]

Dans certains exercices, on commence par faire prouver que avec

puis calculer et en déduire la valeur commune de et .
Puis on fait calculer ton intégrale, ce qui incite à remplacer la tangente par la fraction habituelle.
Beaucoup moins de calculs ...

[Taguimdjeu]

Oui c'est ça merci. J'obtiens π/4.
C'est ça qu'il me fallait  même si je me sens bête maitenant merci beaucoup.

[gg0]

Tu avais ce type d'énoncé (avec I et J) ? Fallait le dire (une fin d'exercice sans son début, ce n'est pas l'exercice !).

[Black Jack 2]

Bonjour,

Autre changement de variable : Poser tan(x) = t

Cela amène à : 1/(1+tan(x)) dx = 1/((1+t)(1+t²)) dt

Qui s'intègre classiquement en -1/4.ln(t²+1) + 1/2.ln(t+1) + 1/2 * arctan(t)

et en repassant à la variable x (si on veut) : on arrive à 1/2.ln(sin(x)+cos(x)) + 1/2 * x

Et entre 0 et Pi/2 ... on arrive à Pi/4