Problème de Trigonométrie

[Peachy77]

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Voilà un problème de trigonométrique.
J'ai réalisé le dessin concernant le cercle circonscrit à l'aide de la construction des médiatrices.

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J'en déduis donc que...
OA = OB = OC = le rayon recherché

Maintenant il me faut trouver le fameux rayon et c'est là que je peine.
Je pense comprendre qu'il faut trouver un triangle rectangle pour ainsi pouvoir utiliser la trigonométrie et utiliser par exemple OA comme hypoténus. Mais je bloque... la réponse quant à elle, je ne la comprends absolument pas.

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Est-ce que quelqu'un pourrait m'éclairer svp ?
Merci d'avance
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[Peachy77]

Eh bien à force de persévérance j'ai trouvé !
En prenant le triangle rectangle OA et le milieu du segment AB pour résoudre et trouver la longueur du segment OA qui représente le rayon.

En revanche, j'avoue ne toujours pas comprendre par quoi l'on passe pour arriver au développement du corrigé.

[epiKx]

Bonjour Peachy77, et merci pour ce beau petit problème!
Je reprends les mêmes notations que dans l'énoncé. Je vais rajouter des sous-questions pour t'aider à y voir plus clair.

1) Si on note l'angle restant dans le triangle ABC et en se rappelant que le centre du cercle inscrit est le point de concours des... du triangle (compléter les 3 petits points),
exprimer en fonction de et . En déduire la formule donnée pour .

2)Pour le rayon du cercle circonscrit, il faut montrer la loi des sinus (cf Wikipedia) dans le triangle ABC. On peut calculer astucieusement en fonction de et . En se rappelant que , on conclut pour exprimer en fonction de et .

Ceci n'est qu'une des méthodes possibles, on pourrait en trouver d'autres...
Cdt, epiKx.