Problème de trigonométrie

[invite528fe3cf]

Bonjour, j'ai une série d'exercices à rendre et celui-ci m'a complètement bloqué (ce n'est d'ailleurs pas le seul^^).

J'aimerais voir si une aide peut m'être apportée (il sera rendu demain)

Voilà cet exercice :

Démontrer que

Si a, b et c sont les angles d'un triangle alors :
sin²a + sin²b + cos²c - 1 = 2 sina sinb cosc

Merci
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[inviteaf1870ed]

Sers toi de l'identité des sinus dans un triangle, et d'Al Kashi. Cela devrait aller

Loi des sinus : http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_des_sinus
Al Kashi : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...e_d%27Al-Kashi

[invite528fe3cf]

Mes a, b, c représentent ici des réels qui ont la valeur des angles et non des côtés.
Je ne sais pas si ta réponse sera différente en sachant cela, ericcc. En tout cas, je cherche avec ce que tu m'as dit. ^_^

[invite528fe3cf]

EDIT : non, pas moyen =S

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Si j'appelle A, B et C les 3 cotés, et a,b et c les angles qui leur font face (voir les figures dans les liens que je t'ai donnés), alors

Loi des sinus : A/sina = B/sinb = C/sinc = 2R
AL Kashi : C²=A²+B²-2ABcosc

Calculons sin²a+sin²b+cos²c-1=sin²a+sin²b-sin²c=(A²+B²-C²)/4R² (par la loi des sinus)
mais A²+B²-C²=2ABcosC par Al Kashi

Maizencore 2AB/4R²=2sinasinb (toujours la loi des sinus)

Je te laisse assembler tous ces morceaux ...

[invite528c70c1]

slt

vla la solution a ton probleme

tout d'abord on a sin²a=(1-cos2a)/2
sin²b=(1-cos2b)/2
et puisque a,b et c sont les mesures d'un triangle donc a+b+c=pi
ainsi c=pi-b-a

et ainsi on a cos²(a+b)=cos²(pi-a-b)=cos²(a+b)=1-sin²(a+b)

on pose sin²a+sin²b+cos²c-1=A
donc A=sin²a+sin²b-sin²(a+b)
=(1-cos2a+1-cos2b-(1-cos2(a+b)))/2
on a cos2a +cos2b=2cos(a+b)cos(a-b)

donc A=(1-2cos(a+b)cos(a-b)+cos2(a+b))/2

on a aussi cos2(a+b)=2cos²(a+b)-1

ainsi A=(1-2cos(a+b)cos(a-b)+2cos²(a+b)-1)/2
=cos(a+b)(cos(a+b)-cos(a-b))
cos(a+b)-cos(a-b)=-2sinasinb

don A=-2sinasinbcos(a+b)
=2sinasinbcosc tel que ( cos(a+b)=-cos(pi-a-b) )

j'espere que ca te sera utile

[invite3240c37d]

Une autre façon de voir ... On a et la relation devient initiale

Comme on obtient :

Je te laisse montrer que donc .. etc ..