Racines carrées

[ancien1957]

Bonjour,
J'aimerais bien savoir quand est-ce que la racine carrée de x2 (x au carré) donne comme solution -x et quand donne-t-elle comme solution +x ?
Merci.
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[PsychoEnder]

salut,
√x²=lxl
si x négative donc √x²=lxl=-x
si x positive donc √x²=lxl=+x
car la valeur absolue est toujours positif

[Ernum]

Salut,

salut,
...
car la valeur absolue est toujours positif

valable sur ℝ et sur ℂ si la partie imaginaire est nulle (je le précise ancien1957 parce que tu as peut-être vu traîner ce genre de notation sans savoir de quoi il s'agissait : (–i)2 = –1, celle-ci s'applique aux nombres complexes d'où possible confusion).

[albanxiii]

Bonjour,

Pour parler de solution, il faut avoir une équation, donc au minimum .
Si a < 0, pas de solution.
Si a = 0, x = 0 est solution (je n'entre pas dans les détails, mais on dit que c'est un solution double, en référence à toute les mathématiques qui concernent les polynômes et les équations polynomiales).
Si a > 0, il y a mathématiquement 2 solutions, .
Si on n'a pas de restriction sur les valeurs que peut prendre x, les deux sont solutions. Dans le cas contraire, ce sont ces restrictions qui nous permettent de ne garder que les solutions acceptables.

Exemple : soit ABC un triangle rectangle en A. On a AB = 3, AC = 4, calculer BC.
C'est une application du théorème de Pythagore, donc BC est solution de BC^2 = AB^2 + AC^2. Mais BC est aussi une longueur, donc nécessairement positif. Au final on ne gardera que la solution positive.

On a d'autres exemple en physique, où c'est aussi les conditions imposées qui permettent de ne garder qu'une seule des deux solutions, parfois aucune.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Heu ... Ancien1957 semble avoir écrit "solution" pour "valeur"; et PsychoEnder avait tout dit dès le message #2.

Cordialement.

[ancien1957]

Il semblerait que je me suis mal exprimé. Je voudrais savoir en fait si on ne précise pas l'ensemble N ou Z ou D ou Q ou R dans lequel nous devons travailler, doit-on opter pour les 2 solutions à savoir -x et +x ou bien opter toujours pour la solution positive +x ?

[Deedee81]

Salut,

Il semblerait que je me suis mal exprimé. Je voudrais savoir en fait si on ne précise pas l'ensemble N ou Z ou D ou Q ou R dans lequel nous devons travailler, doit-on opter pour les 2 solutions à savoir -x et +x ou bien opter toujours pour la solution positive +x ?

Hé bien.... ça dépend des circonstances, du problème considéré, etc....

[gg0]

Mais dans tous les cas, par définition de la racine carrée, celle de x² n'a qu'une seule valeur :

Après savoir si |x| est x ou -x dépend effectivement des circonstances. Mais ce n'est pas x et -x en même temps si x est non nul.

Ancien1957, il serait mieux que tu exposes le problème, ou le genre de problème qui t'a amené à cette question floue.

Cordialement.

[ancien1957]

Re bonjour,
En fait, il s'agit là d'un exercice de maths niveau 3eme que mon fils n'a pas bien saisi.
Je me demande comment lui expliquer que seule la solution positive est prise en compte. Pourquoi existe- il alors une autre solution (négative) ?
Merci pour tout.

[Deedee81]

Salut,

Le choix de la solution positive à une racine carrée est une définition/convention de la "fonction racine/carrée". Un simple choix.
Et la solution négative est notée par

Le fait qu'un autre nombre au carré (la valeur négative) donne le même résultat que le nombre positif ne change pas la définition de la fonction. Ce nombre négatif n'est pas une "autre" solution de la racine carrée. Juste un autre nombre qui élevé au carré donne le même résultat.

[gg0]

La fonction "racine carrée" a été définie à une époque où on n'utilisait pas les nombres négatifs. Quand on les a utilisés, il n'y a pas eu de problème à continuer ainsi.
Après, la résolution d'une équation de la forme x^2 =a est une autre question.

Cordialement.

[Deedee81]

Salut,

La fonction "racine carrée" a été définie à une époque où on n'utilisait pas les nombres négatifs. Quand on les a utilisés, il n'y a pas eu de problème à continuer ainsi.

Ah tiens j'ignorais cet ordre historique ! Merci,

Après, la résolution d'une équation de la forme x^2 =a est une autre question.

+1
Faut pas tout mélanger.

[gg0]

Bonsoir Deedee81.

Voir l'histoire de la racine carrée dans Wikipédia. L'idée d'un "nombre dont le carré est" a donc 40 siècles ! La notation est connue depuis des siècles (1525 pour le symbole actuel), alors que l'utilisation des nombres négatifs par les mathématiciens ne s'étend qu'au dix-huitième siècle, et n'est complétement admise qu'à la fin du dix-neuvième.

Cordialement.

[Deedee81]

Salut,

Pour les négatifs je savais mais pas pour les racines. Joli documents, merci

[stefjm]

La fonction "racine carrée" a été définie à une époque où on n'utilisait pas les nombres négatifs. Quand on les a utilisés, il n'y a pas eu de problème à continuer ainsi.
Après, la résolution d'une équation de la forme x^2 =a est une autre question.

Très proche quand même aujourd’hui.
x^2=b^2
x^2-b^2=0
(x+b).(x-b)=0
x=-b ou x=b

[5t3ph]

Oui.
Quand on parle de fonction, faut aussi parler de son ensemble de définition.