Système d'équation dans Z

[joq35]

Bonjour à tous,

Je suis en train de résoudre un système de 2 équations à 3 inconnues :
18 x+ 20y + z = 5
10 x + 10y + 2z= 6

Je dois résoudre ce système dans Z.
Je le résous d'abord dans R, et je trouve les solutions suivantes :
(7/2 - 3/2 * z, -29/10 + 13/10 * z, z) avec z un réel

Je souhaite maintenant trouver les éventuelles solutions dans Z.
Je dois donc chercher les conditions sur z pour que 7/2 - 3/2 * z soit un entier, et -29/10 + 13/10*z soit également un entier.

7/2 - 3/2 * z est un entier si 7-3z est un multiple de 2. Il existe donc k un entier tel que 7 - 3z = 2k. On remarque que ceci est vrai si z est impair.

-29/10 + 13/10 * z est un entier si -29+13*z est un multiple de 10. Il existe donc un entier k' tel que -29+13*z = 10 k'. Ou encore, il existe un entier k'' tel que -9 + 3 * z = 10 k''.

Et là je bloque un petit peu ... pourriez-vous m'aider pour continuer ?
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[Archi3]

je dirais que ça fait 3(z-3)= 10 k" et comme 10 et 3 sont premiers entre eux, il est nécessaire et suffisant que z-3 soit un multiple de 10 donc z= 10n+3 ? (ce qui assure aussi qu'il est impair).

[joq35]

Ah ok, l'écriture n'était pas bien écrite pour conclure avec Gauss.
Merci.