Calcul vectoriel

[joq35]

Bonjour à tous,

J'essaye de résoudre un exo. J'ai trouvé une première solution qui fonctionne, en utilisant un repère cartésien (O, CB (vecteur), CD (vecteur)), en calculant les coordonnées de chaque point dans ce repère, et en calculant les coordonnées des vecteurs (cela nécessite de trouver l'équation des 2 droites). Cela fonctionne mais c'est quand même long à mettre en place.
On me demande de trouver une autre solution, uniquement avec du calcul vectoriel, sans utiliser de propriétés géométriques. Et là je pèche un peu. Auriez-vous une idée ?

Voici l'énoncé :
Soit (A,B,C,D) parallélogramme d'un espace affine, I milieu de [AB], J milieu de [AD], I' intersection des droites (CI) et (BD), J' intersection des droites (CJ) et (BD), et M milieu de [BD].

On me demande de montrer que le vecteur DJ' = 1/3 * vecteur DB

Merci
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[gg0]

Bonjour.
Voilà une méthode, un peu inspirée du calcul dans un repère cartésien :
On traduit que J' est sur (DB) :
On traduit que J' est sur (CJ) :
Donc
En comparant les deux écritures et tenant compte de ce que les deux vecteurs et \vec{DC} ne sont pas colinéaires, on trouve deux relations entre l et k, puis la valeur de l et celle de k.

Cordialement.

NB : Il y a bien sûr bien d'autres méthodes.

[joq35]

Merci bcp, c'est effectivement bcp plus efficace.