simplifier l'expression égale à z^5-1

[ahmadhh]

Bonjour

on nous demande dans la question 2) de montrer ceci:
86C54405-EC6D-4EBE-80A3-A3336E4882AD.jpg

évidemment j'ai débuté de l'expression de la quest 1) et j'ai trouvé:
68AE17FF-4CB9-40D9-8FC4-0EF19CD60095.jpg
mais au delà de cette expression je ne peux simplifier que par développement qui prendra une éternité..

j'en serais très reconnaissant si j peux avoir une astuce pour la simplifier aisément.

merci infiniment!
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[gg0]

Bonjour.

1) Le développement ne prendra pas une éternité. Surtout si on le fait intelligemment ! Mais ce n'est probablement pas le travail attendu.
2) Les racines de z^5-1 sont faciles à trouver et donnent une factorisation élémentaire qui est la réponse à cette question 2 compte tenu de la question 1.

Cordialement.

[ahmadhh]

rebonjour

donc j'ai suivi ce que vous m'avez dit et trouvé ceci:

[gg0]

Ne reste plus qu'à appliquer le résultat de la question 1. En regardant bien le rapport entre et (les arguments sont définis à près).

[A voir en vidéo sur Futura]

[ahmadhh]

exactement oui!
bonne journée

[ahmadhh]

Rebonjour monsieur!

donc j'ai resolu la question 2) mais il reste la dernière (3) qui semble beaucoup plus compliquée
comment peut on utiliser les solutions de l'equation pour déterminer les valeurs de cos(2pi/5) et cos(4pi/5)

voilà ma rédaction:

[gg0]

Je ne sais pas trop quelle est l'intention de l'auteur, mais en tout cas, tu as une factorisation de z^5-1 dans R que tu sais faire directement : Z^5-1=(z-1)(....). En comparant les deux factorisations, tu pourras calculer ces cosinus (le premier suffit, le second s'en déduit).
Tu peux même considérer la factorisation z^5-1 = (z-1)(z²+az+1)(z²+bz+1), identifier et trouver a et b (restera à savoir lequel, de a et de b, est le bon cosinus.

Bon travail !

[ahmadhh]

j'ai trouvé les valeurs des cosinus a partir un systeme de forme
X+Y=S
X*Y=p

merci infiniment