Equation différentielle

[Orphelz]

Bonjour,

J'ai l'équation différentielle y'= (1-t)/(1+y) avec y(0)=0
y = racine (at²+bt+c) +d
y' = (at+b/2)/ racine (at²+bt+c)
Je voudrai exprimer l'équation sous la forme (At+B)+(Ct+D)*racine(at²+bt+c) =0

Mais je n'y arrive pas en remplacant y et y' dans l'expression.

y'+y'y-1+t=0
(at+b/2)/racine (at²+bt+c) + (at+b/2)*( racine(at²+bt+c) + d)/ racine (at²+bt+c) - 1 + t = 0

J'aurai tendance à multiplier tout par racine (at²+bt+c) pour simplifier :

at+b/2 + (at+b/2)*racine(at²+bt+c) + (at+b/2)*d - racine (at²+bt+c) + t*racine (at²+bt+c) = 0

Je bloque ensuite à ce niveau. Est ce que c'est le bon raisonnement ?

A, B, C et D peuvent s'exprimer en fonction de a,b,c et d.

Merci de votre aide,

Bonne journée
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[jacknicklaus]

Bonsoir,

oui c'est la bonne piste. Il suffit de factoriser la racine carrée dans at+b/2 + (at+b/2)*racine(at²+bt+c) + (at+b/2)*d - racine (at²+bt+c) + t*racine (at²+bt+c) = 0
ca va te donner du : racine(at²+bt+c).(at +b/2 + t - 1) = (-at + b/2)(1+d) ce qui te donne immédiatement a, b et d. c est la constante d'intégration qui dépend de y(0)

[Orphelz]

Merci pour la confirmation.
Ok, donc j'ai :

at+b/2 + d*(at+b/2) + racine(at²+bt+c) * (at+b/2 - 1 + t) = 0
(at+b/2)(1+d) + (at+b/2-1+t)*racine(at²+bt+c)=0
(at+adt + b/2 + bd/2) + (at+t + b/2-1)* racine(at²+bt+c)=0

Donc :
A = at+adt
B= b/2 + bd/2
C = at + t
D = b/2-1

Donc en considérant A = B = C = D = 0
On a :
b = 2
d = -1
a = 0
c = 1 car y(0) = 0 => racine(0*0²+2*0+c)-1=0 => racine(c) = 1 => c =1

Est-ce le bon raisonnement ?

[jacknicklaus]

je n'aime pas trop ce passage

Donc :
A = at+adt
B= b/2 + bd/2
C = at + t
D = b/2-1
Donc en considérant A = B = C = D = 0

Et par ailleurs a = 0 est faux.


Ces notations A B C D n'apportent rien sinon de la confusion. Il te reste à justifier proprement :

que si pour tout t, on a (at+adt + b/2 + bd/2) + (at+t + b/2-1)* racine(at²+bt+c) = 0
alors nécessairement (at+adt + b/2 + bd/2) et (at+t + b/2-1) sont identiquement nuls et donc a = , b =, d = .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Orphelz]

a = -1
b = 2
d = -1
c = 1

Donc l'équation différentielle est de la forme y = racine (-t²+2t+1) -1
Donc quand t =0, on a bien y=0

[jacknicklaus]

a = -1
b = 2
d = -1
c = 1

Donc l'équation différentielle est de la forme y = racine (-t²+2t+1) -1
Donc quand t =0, on a bien y=0

Sans doute, mais tu n'as pas démontré que ta solution est la seule. Tu as juste trouvé une solution. Est ce la seule ? Ca dois être prouvé!

a = -1
Donc l'équation différentielle est de la forme y = racine (-t²+2t+1) -1

Non, ce n'est pas l'équation qui a cette forme, c'est une solution à l'équation. Les mots sont précis, en mathématiques.