Trigonométrie

[Tulipe18]

Bonjour,
Merci de m'aider pour cet exercice:
Un tennis club possède un gymnase de forme semi-cylindrique, dont un schéma en coupe est représenté
ci-dessous. L’unité graphique est égale à 10 m.
1. On souhaite installer des gradins hauts de 5 m de chaque côté du court central situé à l’intérieur de ce gymnase.
a) Résoudre dans [0 ; pi] l’équation sin(x) =1/2 .
b) En déduire les positions limites au sol des gradins.
c) On décide d’installer une guirlande lumineuse le long du plafond, d’un gradin à l’autre. Quelle longueur de guirlande va-t-on utiliser ?
2. On décide finalement d’installer une guirlande lumineuse horizontale longue de 10 m au plafond de manière symétrique par rapport au sommet du gymnase.
a) Résoudre dans [0 ; pi] l’inéquation −1/2≤ cos(x) ≤1/2.
b) On admet que la personne qui fixe la guirlande mesure 1,80 m et que ses bras ne doivent pas dépasser le haut de sa tête au moment de l’installation. En déduire la hauteur minimale de l’échafaudage pour pouvoir exécuter cette manœuvre.

Voici ce que j'ai fait:
1) a) J'ai résolu sin(x) = 1/2 sur [0; pi] j'ai trouvé x=pi/6 ou x=5pi/6
b) Les positions limites au sol des gradins sont cos(pi/6) = V3 /2 ou cos(5pi/6)=-V3 /2 ce qui représente en mètres (en multiplie par 10) environ 8,7 m ou -8,7 m
Les gradins se trouvent à 8,7 m de part et d'autre du centre O.
c) La longueur de la guirlande est celle de l'arc qui intercepte l'angle entre les deux gradins soit 2pi/3
Pour calculer cette longueur, il faut calculer la longueur de l'arc en utilisant la formule: périmètre du cercle de rayon r x (2pi/3 /2pi)
Ici r = 10 on trouve donc 20pi/3 soit environ 21 m.
2) a) On sait que cos(pi/3)=1/2 et cos(2pi/3) = -1/2
donc -1/2 <= cos(x) <= 1/2 pour x dans [2pi/3 ; pi]
b) Je n'ai pas su faire

Merci de me dire si ce que j'ai fait est juste et de m'éclairer pour la dernière question.
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[gg0]

Bonjour.

Pour cette dernière question, je suppose qu'on n'a pas installé les gradins. Fais le schéma, avec la guirlande de 10 m de long placée horizontalement au plafond, puis l’échafaudage et le poseur. Le poseur, les pieds sur l’échafaudage doit atteindre la guirlande avec la tête.

Bon travail !

[Tulipe18]

Mes réponses aux autres questions sont-elles justes?
Je pense que la 2-a est fausse, je la refais:
-1/2<= cos(x) <= 1/2
cos(2pi/3) <= cos(x) <= cos(pi/3)
pi/3 <= x <= 2pi/3
Est-ce bien cela?
Pour la dernière question, la guirlande doit être horizontale, et mesure 10 m, c'est à dire elle est à 5m de part et d'autre du sommet du plafond, ce qui représente en unité graphique 1/2. On a alors -1/2<= cos(x) <= 1/2. D'après la question précédente, on a trouvé que cette double inégalité est vraie pour x appartenant à l'intervalle [pi/3 ;2pi/3].
On doit chercher d'abord la hauteur de l'échafaudage avec la personne dessus:
cela représente sin(pi/3) = sin(2pi/3)=V3 /2
En mètre: V3 /2 *10 = 5V3 m
Or la personne mesure 1,80m. Donc:
5V3 - 1,8 = 6,86m
L'échafaudage ne doit pas dépasser 6,86m.
Mais il me semble que je suis hors sujet puisqu'on me demande la hauteur minimale de l'échafaudage alors que moi j'ai calculé la hauteur maximale, et je ne vois pas comment faire pour calculer la hauteur minimale

[gg0]

Comment justifies-tu le passage :
cos(2pi/3) <= cos(x) <= cos(pi/3)
pi/3 <= x <= 2pi/3 ?
Mais on peut aussi utiliser le cercle trigonométrique.
En tout cas, la première réponse était fausse, pi n'est pas une solution.

Pour l'échafaudage, tu n'as pas trouvé la hauteur maximale, mais la minimale, puisque si l'échafaudage est plus petit, le poseur ne peut plus respecter la consigne; et rien n'interdit de le prendre avec 10 cm de plus en hauteur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tulipe18]

Comment justifies-tu le passage :
cos(2pi/3) <= cos(x) <= cos(pi/3)
pi/3 <= x <= 2pi/3 ?

Soit par le cercle trigonométrique ou du fait que la fonction cosinus est décroissante

Du coup ce que j'ai répondu à la dernière question est juste?

[gg0]

Je n'ai pas revérifié les calculs, mais la méthode est correcte. Ta justification est parfaite.
Bonne fin de soirée.

[Tulipe18]

Merci !
Bonne soirée également