Théoreme des sinus et des hauteurs

[FlorianCuisinierD]

Bonjour,
Je m'appelle Florian, j'ai 14 ans et je suis élève de 4ème et je suis passionnée de maths et de physique théorique.
Récemment lorsque je voulais calculer la distance moyenne entre deux planètes à partir de leurs distances au Soleil et leur angle qui les séparés j'ai découvert un "théorème" sur les sinus et les hauteurs un peu comme celui d'Al-Kashi mais pour les sinus le voici:
Dans un triangle quelconque ABC, on connait l'angle aBc, la longueur [AB]=d et la longueur [BC]=D. On veut calculer la longueur [AC]=R. Pour calculer c'est longueur on utilise le théorème que je vous avez parlé au dessus, le voici:
√((sin(α)*d)²+(D-√(sin(α)*d)²-d²)²)=R
Puis pour calculer les distances moyennes entre les planètes j'ai fais:
Dmoyenne=1/2π∫ √((sin(α)*d)²+(D-√(sin(α)*d)²-d²)²) (l'intégrale est comprise entre 0 et 2π).

J'aimerais savoir si ce théorème existe déjà et qu'est ce que vous en pensé de celui-ci, n'hésitais pas à ma dire si j'ai commis une erreur (ou plus)
Merci de vos réponses.
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[jiherve]

bonsoir
il semble y avoir un probleme dans ta formule qui la rend non homogène.
JR

[gg0]

Bonsoir.

la formule est fausse. Pour un triangle de côtés d=3, D= 4 et R=5 (le sinus vaut 1) elle donne √(9+(4-3-9)²) = 5.
Et effectivement, elle n'est pas homogène, si les longueurs sont en mètres, dans D-√(sin(α)*d)²-d², D est en m, √(sin(α)*d)² aussi mais pas d².

Peut-être peux-tu la reprendre et nous expliquer d'où elle sort (*).
En tout cas, c'est bien d'essayer ...

Cordialement.

(*) Intuitivement, je parierais pour un théorème d'Al Kashi écrit avec des sinus.

[gts2]

La formule réécrite :
donne bien
Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

En fait, il manquait une paire de parenthèses. J'y avais pensé, le lien entre sin² et cos² étant classique, mais j'attendais que FlorianCuisinier revienne expliciter sa formule.
Le fait de trouver une formule de géométrie est valorisant, mais trouver une formule compliquée (et mal écrite) quand on connaît déjà une formule plus simple devrait amener à comprendre soi-même qu'on n'a rien inventé.

Cordialement.