Pourquoi x^(n+1)/(1+x²) <= x^n/(1+x²)

**hbx360** · 05/12/2025, 10h12

Bonjour,

J'ai un exercice ou on me demande d'étudier la monotonie de :

$\text{[math]}$

Dans la correction voilà ce qui est marqué : Soit $\text{[math]}$ fixé.

Pour tout $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ .

Par croissance de l'intégrale (les bornes sont dans le bon sens) il s'ensuit que $\text{[math]}$ .

Ce que je ne comprend pas c'est pourquoi $\text{[math]}$
Dans le corrigé il n'explique pas comment on en arrive à cette conclusion.

**gts2** · 05/12/2025, 10h18

Bonjour,

Une suggestion $\text{[math]}$

**hbx360** · 05/12/2025, 11h08

Donc pour moi $\text{[math]}$ est plus grand que $\text{[math]}$ car on multiplie par $\text{[math]}$

Donc on devrait avoir l'inverse c'est à dire $\text{[math]}$

Car 2^(2+1) sera toujours plus grand que 2^2

**gts2** · 05/12/2025, 11h13

L'intégrale va de 0 à 1 et donc comme dit votre texte $\text{[math]}$ , x=2 est en dehors de cet intervalle.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**hbx360** · 05/12/2025, 14h01

D'accord l'exemple est pas bon mais comment on fait pour prouver que x^(n+1)/(1+x²) <= x^n/(1+x²) à part faire des calcules en partant de 0 jusqu'à 1. Je ne vois pas comment faire ?

**gts2** · 05/12/2025, 14h06

Si $\text{[math]}$ , que peut-on dire de $\text{[math]}$ comparé à $\text{[math]}$ ?

**hbx360** · 05/12/2025, 14h51

Eh bien on peut dire que xg(x) > g(x)

**gts2** · 05/12/2025, 15h06

Vous multipliez 10 par un nombre inférieur à 1 et vous trouvez un nombre plus grand que 10 ?

**gg0** · 05/12/2025, 18h35

Bonjour hbx360.

Tu es sans doute en terminale, donc il n'est pas trop tard pour oublier l'idée (école primaire) "multiplier = faire augmenter".
D'abord, tu as vu les nombres négatifs, et vu que 3*(-2) n'est pas "plus grand" que -2. Et pourtant on a multiplié par 3. en fait -6<-2.
Mais aussi, tu as rencontré les fractions de la forme 1/x, et eu à apprendre que multiplier par 1/x c'est diviser par x. Donc multiplier c'est comme diviser (sauf par 0). Enfin, tu as déjà rencontré des multiplications par des nombres entre 0 et 1; ça donne quoi, quand tu multiplie un nombre positif par 0,02 ?
(à suivre)

**gg0** · 05/12/2025, 18h40

(suite)
Pour ton problème, avec les règles de manipulation des égalités qu'on voit à partir de la classe de seconde (France) :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Puis on part de
$\text{[math]}$
Et on multiplie par un nombre positif que je te laisse deviner.

Cordialement.

**hbx360** · 05/12/2025, 19h59

D'accord je viens de tilter.

Même si on voit le résultat immédiatement, ce que j'aimerai savoir c'est comment on fait pour démontrer que x^(n+1) <= x^n ?

Comment on rédige ? La réponse donné (voir #1) dans mon livre ne me satisfait pas, c'est juste une affirmation j'aurai aimé qu'il développe.

**MissJenny** · 05/12/2025, 20h22

si tu as deux nombres strictement positifs a et b, tu as l'équivalence : a<b <=> a/b < 1 Ici tu as a = x^(n+1) et b = x^n

**hbx360** · 05/12/2025, 20h39

D'accord, donc c'est comme ça qu'on rédige.

**gg0** · 05/12/2025, 20h54

Ou simplement, comme je te le proposais au message #10.
Règle ultra-classique : si a<b et c >0 alors ac<bc
Ou, pour des relations larges :
Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$

**hbx360** · 05/12/2025, 20h58

D'accord, merci pour vos réponses.

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