Somme des diviseurs et nombres premiers

[MissJenny]

ah oui ça en fait quand-même pas mal. si tous ces carrés sont des carrés de nombres premiers ça ne peut pas être une coïncidence. Reste à trouver une preuve...
-----

[ThM55]

Je m'en tiens à mon explication, que je résume pour conclure. Le procédé consiste en deux étapes:

1) on calcule la suite des ; notons-la

2) à chaque élément de cette suite, on applique la fonction ; on obtient la suite

Or, il est possible que la fonction F appliquée à n'importe quel nombre composé produise un carré, mais c'est très rare. Il y a très peu de nombres composés qui donnent un carré et ils sont renseignés dans https://oeis.org/A318169. Par contre, puisque quand p est premier , chaque fois que vous évaluez F sur un nombre premier, vous aurez un carré. Donc si vous prenez une suite croissante quelconque de nombres entiers il y a de fortes chances, lorsque cela donne un carré, qu'il soit celui d'un nombre premier, puisqu'il y a beaucoup plus (en fait une écrasante majorité) de nombres premiers que de nombres composés vérifiant la condition.

Au fond, la nature de l'étape 1 n'est pas si importante, à part le fait qu'elle doit produire des nombres premiers. Il y a peu de chances que les nombres composés qu'elle produit soient dans la suite A318169 de l'OEIS puisque celle-ci est "raréfiée". Cela pourrait être par exemple une progression arithmétique de raison assez grande, puisque le théorème de Dirichlet dit que m+an contient une infinité de nombres premiers si pgcd(m,n)=1 (évidemment, si vous concoctez exprès une progression qui contient 5509736, vous avez votre contre-exemple, mais pas sûr que vous en trouvier un autre).

Reste donc la question: pourquoi les nombres composés tels que F(n) soit un carré sont-ils si peu fréquents, càd pourquoi cette suite est si raréfiée? C'est la seule partie dure du problème et à mon avis cela relève de questions difficiles de théorie des nombres. Le site OEIS mentionne une équation diophantienne pour des nombres composés de la forme . Le message sur stackoverflow mentionne un problème un peu similaire posé par Erdös, cela montre le niveau qu'il faut avoir. Je n'ai pas très envie de plonger là dedans. Donc, pour moi en tout cas, la recherche d'un contre-exemple ainsi que celle d'une preuve (ou une réfutation) sont hors de ma portée.

[jacknicklaus]

Quelques petites expériences :

On teste les racines carrées entières avec les valeurs de la suite des Sigma2(N)-1, N variant de 2 à 100000
- on obtient 9598 entiers, dont seuls 3107 et 54243 sont non-premiers

On teste les racines carrées entières avec les valeurs de la suite des Sigma2(Sigma2(N)-1)-1, N variant de 2 à 100000
- on obtient 9374 entiers, dont aucun non-premiers

On teste les racines carrées entières avec les valeurs de la suite des Sigma2(Sigma2(Sigma2(N)-1)-1)-1, N variant de 2 à 100000
- on obtient 3465 entiers, dont aucun non-premiers