Confirmation qu'une formule est fausse... Pardon archifausse!

[le fouineur]

Bonjour à tous,

J'ai repris la semaine dernière des calculs portant sur l'algèbre et la trigonométrie en refaisant des exercices extraits des tutoriels de Youtube....Dans l'un deux, assez compliqué, je tombe sur
la formule suivante:

tan(Thèta/2)= sin(Thèta)/[1+cos(Thèta)], ce qui me semble très farfelu... je connais les principales formules et j'ai d'ailleurs un livre très complet de trigonométrie (277 pages) et celle-ci n'y figure évidemment pas. Pouvez-vous s'il vous plait valider ou plutôt invalider cette assertion fantaisiste?

Après calculs et sauf erreur de ma part, je trouve: tan(Thèta/2)=+ou- [1-cos(Thèta)]/[1+cos(Thèta)], ce qui me semble déjà plus réaliste...

Cordialement le fouineur
-----

[gts2]

Bonjour,

On retrouve votre formule "fausse" à partir des formules classiques :
sin(x)=2 sin(x/2) cos(x/2)
1+cos(x)=2 cos²(x/2)

[gg0]

Bonjour.

Par contre, "tan(Thèta/2)=+ou- [1-cos(Thèta)]/[1+cos(Thèta)]" est fausse, par exemple pour Thèta=Pi/3, tan(Thèta/2)=racine(3)/3 et [1-cos(Thèta)]/[1+cos(Thèta)] = 1/3.
Par contre [1-cos(Thèta)]/[1+cos(Thèta)] = (tan(Thèta/2)²

Cordialement.

NB : La bonne orthographe pour est thêta.

[GBZM]

La formule archifausse tout à fait vraie est juste une manifestation du fait que l'angle au centre est le double de l'angle inscrit :

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Très joli !

[le fouineur]

Merci beaucoup gts2 pour ta réponse très rapide et merci à gg0 et GBZM pour leurs contributions rectificatives et cette superbe figure,

J'avais dans mes archives la seconde formule donnée par gts2 utilisée pour une intégration il y a maintenant dix-huit mois et j'ai réussi facilement à démontrer les deux.

Merci encore à tous les trois pour votre aide décisive.

Cordialement le fouineur

[jiherve]

bonjour
plus que joli éblouissant de clarté!
JR

[MissJenny]

c'est facile à démontrer :

je commence par renommer les angles theta/2 => alpha, theta => beta. On doit montrer que beta = 2 alpha.

on relie le point du cercle de coordonnées cos theta, sin theta (non nommé sur la figure, et que j'appellerai A) au point nommé 1 sur l'axe des x. Le triangle 0,A,1 est isocèle donc les angles en A et en 1 sont égaux et égaux à (pi-beta)/2.

Maintenant le triangle (-1,A,1) est rectangle en A et donc son angle en 1 est pi - pi/2 - alpha. Mais il est aussi égal à pi/2 - beta/2 et donc alpha = beta/2