Bonjour,
Dans un repère ortho xOy (x>0 vers la D et y>0 vers le haut) on considère la branche y<0 d'une parabole y²=4fx.
Une droite D d'équation y=-k coupe la parabole.
Un cercle de rayon r est tangent, coté extérieur de la parabole, à la fois à D et à la branche de la parabole.
Ma question: quelles sont les valeurs en x et en y du centre du cercle?
Merci d'avance.
Bonjour.
Qui est f ? Je vais supposer que c'est un paramètre positif. même chose pour k, qui semble ne pouvoir être qu'un réel positif.
Ensuite, une figure aurait été la bienvenue.
Cordialement.
Dernière modification par gg0 ; 13/07/2026 à 12h23.
Je te conseille de faire ce dessin, et voir que le cercle n'existe pas. Erreur de copie de l'énoncé ?
Bonjour,
Mon énoncé n'est apparemment pas bien clair.
Effectivement 4f est une constante, de même que k, y=-k veut signifier que quel que soit x, y=-k, j'aurais peut-être du écrire y(x)=-k?
La solution que je cherche est celle avec le cercle de rayon r se trouve sous la droite
J'ai un croquis dispo mais je ne sais pas comment le joindre...
Tu peux le scanner ou le photographier et joindre le fichier en pièce jointe (mode répondre ou avancer).
Le centre du cercle, et les deux points de tangence forment un triangle rectangle mais l'hypoténuse est plus longue que les côtés de l'angle droit, figure impossible.
Bonjour,
Soit ce n'est pas facile à décrire soit je le fais mal...
Ci joint un croquis du principe, j'espère ça sera parlant.
Ah, OK !
J'ai mal lu l'énoncé.
Donc sont donnés k>0, f>0 et r>0. Dans ce cas, il est assez intuitif que parmi les cercles de rayon r tangents à (D), un seul est tangent à la demi-parabole.
Je viens de regarder, les calculs sont à priori assez pénibles, et comportent la résolution d'une équation de degré 4 à deux paramètres (f et r). Même avec des valeurs connues de f et r, ça va donner une réponse très compliquée.
Pourquoi poses-tu ce problème ?
Sur une machine outil je dois faire partir mon travail d'un point qui est défini comme ça.
Jusqu'à présent je fais un dessin et je relève dessus mais je préfèrerais beaucoup partir d'un point calculé car ça se répète régulièrement avec d'autres cercles d'autre rayons, sur d'autres paraboles alors qu'il est clair que pour une figure donnée il n'y a qu'une réponse. Et en plus la précision de mesurer sur un dessin ça fait un peu peur.
(j'aurais la même problématique avec des ellipses...)
Est-ce que une fois la fameuse équation de degré 4 définie, une IA genre Chat ou Mistral ne saurait pas la résoudre?
Bonjour,
x est racine de ce magnifique polynôme :
(16*f^2)*x^4 + (-32*f^3 - 8*f*k^2 - 16*f*k*r - 16*f*r^2)*x^3 + (16*f^4 + 32*f^2*k^2 + 64*f^2*k*r + 24*f^2*r^2 + k^4 + 4*k^3*r + 4*k^2*r^2)*x^2 + (-8*f^3*k^2 - 16*f^3*k*r + 24*f^3*r^2 - 10*f*k^4 - 40*f*k^3*r - 58*f*k^2*r^2 - 36*f*k*r^3)*x + (-16*f^4*r^2 + f^2*k^4 + 4*f^2*k^3*r - 14*f^2*k^2*r^2 - 36*f^2*k*r^3 - 27*f^2*r^4 + k^6 + 6*k^5*r + 12*k^4*r^2 + 8*k^3*r^3)
Quant à y, il est bien sûr égal à -k-r.
Une des 4 racines de ce polynôme en x :
x == -1/2*sqrt(-1/8*sqrt(3)*f^2*((4*f^2 + k^2 + 2*k*r + 2*r^2)^3/f^3 + 8*(5*k^4 + 20*k^3*r + 29*k^2*r^2 + 18*k*r^3 + 4*(k^2 + 2*k*r - 3*r^2)*f^2)/f - (16*f^4 + k^4 + 4*k^3*r + 4*k^2*r^2 + 8*(4*k^2 + 8*k*r + 3*r^2)*f^2)*(4*f^2 + k^2 + 2*k*r + 2*r^2)/f^3)/sqrt((256*f^8 + 256*f^6*k^2 + 96*f^4*k^4 + 16*f^2*k^6 + k^8 - 1728*f^2*k*r^5 - 16*(216*f^4 + 270*f^2*k^2 - k^4)*r^4 + f^4*(144*(64*f^6 + 48*f^4*k^2 + 12*f^2*k^4 + k^6 + 108*f^2*r^4 + 8*(27*f^2*k + k^3)*r^3 + 12*(13*f^2*k^2 + k^4)*r^2 + 6*(16*f^4*k + 8*f^2*k^3 + k^5)*r)*sqrt(64/3*f^6 + 16*f^4*k^2 + 4*f^2*k^4 + 1/3*k^6 + 36*f^2*r^4 + 8/3*(27*f^2*k + k^3)*r^3 + 4*(13*f^2*k^2 + k^4)*r^2 + 2*(16*f^4*k + 8*f^2*k^3 + k^5)*r)*(k + r)*r/f^5 - 72*(k^6 + 6*k^5*r + 31*k^4*r^2 + 84*k^3*r^3 + 94*k^2*r^4 + 36*k*r^5 + 16*(k^2 + 2*k*r + r^2)*f^4 + 4*(5*k^4 + 20*k^3*r + 46*k^2*r^2 + 52*k*r^3 + 21*r^4)*f^2)*(16*f^4 + k^4 + 4*k^3*r + 4*k^2*r^2 + 8*(4*k^2 + 8*k*r + 3*r^2)*f^2)/f^4 + (16*f^4 + k^4 + 4*k^3*r + 4*k^2*r^2 + 8*(4*k^2 + 8*k*r + 3*r^2)*f^2)^3/f^6 + 864*(4*k^8*r^2 + 32*k^7*r^3 + 100*k^6*r^4 + 152*k^5*r^5 + 112*k^4*r^6 + 32*k^3*r^7 + 16*(k^4 + 4*k^3*r + 22*k^2*r^2 + 36*k*r^3 + 17*r^4)*f^6 + 8*(2*k^6 + 12*k^5*r + 71*k^4*r^2 + 204*k^3*r^3 + 252*k^2*r^4 + 128*k*r^5 + 19*r^6)*f^4 + (k^8 + 8*k^7*r + 110*k^6*r^2 + 548*k^5*r^3 + 1061*k^4*r^4 + 740*k^3*r^5 - 128*k^2*r^6 - 360*k*r^7 - 108*r^8)*f^2)/f^4)^(2/3) - 32*(216*f^4*k + 104*f^2*k^3 - k^5)*r^3 - 24*(128*f^4*k^2 + 28*f^2*k^4 - k^6)*r^2 + 8*(64*f^6*k + 48*f^4*k^3 + 12*f^2*k^5 + k^7)*r + (16*f^6 - 40*f^4*k^2 + f^2*k^4 + 16*f^2*k^2*r^2 + 24*f^2*k*r^3 + 12*f^2*r^4 - 4*(20*f^4*k - f^2*k^3)*r)*(144*(64*f^6 + 48*f^4*k^2 + 12*f^2*k^4 + k^6 + 108*f^2*r^4 + 8*(27*f^2*k + k^3)*r^3 + 12*(13*f^2*k^2 + k^4)*r^2 + 6*(16*f^4*k + 8*f^2*k^3 + k^5)*r)*sqrt(64/3*f^6 + 16*f^4*k^2 + 4*f^2*k^4 + 1/3*k^6 + 36*f^2*r^4 + 8/3*(27*f^2*k + k^3)*r^3 + 4*(13*f^2*k^2 + k^4)*r^2 + 2*(16*f^4*k + 8*f^2*k^3 + k^5)*r)*(k + r)*r/f^5 - 72*(k^6 + 6*k^5*r + 31*k^4*r^2 + 84*k^3*r^3 + 94*k^2*r^4 + 36*k*r^5 + 16*(k^2 + 2*k*r + r^2)*f^4 + 4*(5*k^4 + 20*k^3*r + 46*k^2*r^2 + 52*k*r^3 + 21*r^4)*f^2)*(16*f^4 + k^4 + 4*k^3*r + 4*k^2*r^2 + 8*(4*k^2 + 8*k*r + 3*r^2)*f^2)/f^4 + (16*f^4 + k^4 + 4*k^3*r + 4*k^2*r^2 + 8*(4*k^2 + 8*k*r + 3*r^2)*f^2)^3/f^6 + 864*(4*k^8*r^2 + 32*k^7*r^3 + 100*k^6*r^4 + 152*k^5*r^5 + 112*k^4*r^6 + 32*k^3*r^7 + 16*(k^4 + 4*k^3*r + 22*k^2*r^2 + 36*k*r^3 + 17*r^4)*f^6 + 8*(2*k^6 + 12*k^5*r + 71*k^4*r^2 + 204*k^3*r^3 + 252*k^2*r^4 + 128*k*r^5 + 19*r^6)*f^4 + (k^8 + 8*k^7*r + 110*k^6*r^2 + 548*k^5*r^3 + 1061*k^4*r^4 + 740*k^3*r^5 - 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360*k*r^7 - 108*r^8)*f^2)/f^4)^(1/3) + 1/8*(4*f^2 + k^2 + 2*k*r + 2*r^2)^2/f^2 - 1/12*(16*f^4 + k^4 + 4*k^3*r + 4*k^2*r^2 + 8*(4*k^2 + 8*k*r + 3*r^2)*f^2)/f^2) + 1/8*(4*f^2 + k^2 + 2*k*r + 2*r^2)/f - 1/24*sqrt(3)*sqrt((256*f^8 + 256*f^6*k^2 + 96*f^4*k^4 + 16*f^2*k^6 + k^8 - 1728*f^2*k*r^5 - 16*(216*f^4 + 270*f^2*k^2 - k^4)*r^4 + f^4*(144*(64*f^6 + 48*f^4*k^2 + 12*f^2*k^4 + k^6 + 108*f^2*r^4 + 8*(27*f^2*k + k^3)*r^3 + 12*(13*f^2*k^2 + k^4)*r^2 + 6*(16*f^4*k + 8*f^2*k^3 + k^5)*r)*sqrt(64/3*f^6 + 16*f^4*k^2 + 4*f^2*k^4 + 1/3*k^6 + 36*f^2*r^4 + 8/3*(27*f^2*k + k^3)*r^3 + 4*(13*f^2*k^2 + k^4)*r^2 + 2*(16*f^4*k + 8*f^2*k^3 + k^5)*r)*(k + r)*r/f^5 - 72*(k^6 + 6*k^5*r + 31*k^4*r^2 + 84*k^3*r^3 + 94*k^2*r^4 + 36*k*r^5 + 16*(k^2 + 2*k*r + r^2)*f^4 + 4*(5*k^4 + 20*k^3*r + 46*k^2*r^2 + 52*k*r^3 + 21*r^4)*f^2)*(16*f^4 + k^4 + 4*k^3*r + 4*k^2*r^2 + 8*(4*k^2 + 8*k*r + 3*r^2)*f^2)/f^4 + (16*f^4 + k^4 + 4*k^3*r + 4*k^2*r^2 + 8*(4*k^2 + 8*k*r + 3*r^2)*f^2)^3/f^6 + 864*(4*k^8*r^2 + 32*k^7*r^3 + 100*k^6*r^4 + 152*k^5*r^5 + 112*k^4*r^6 + 32*k^3*r^7 + 16*(k^4 + 4*k^3*r + 22*k^2*r^2 + 36*k*r^3 + 17*r^4)*f^6 + 8*(2*k^6 + 12*k^5*r + 71*k^4*r^2 + 204*k^3*r^3 + 252*k^2*r^4 + 128*k*r^5 + 19*r^6)*f^4 + (k^8 + 8*k^7*r + 110*k^6*r^2 + 548*k^5*r^3 + 1061*k^4*r^4 + 740*k^3*r^5 - 128*k^2*r^6 - 360*k*r^7 - 108*r^8)*f^2)/f^4)^(2/3) - 32*(216*f^4*k + 104*f^2*k^3 - k^5)*r^3 - 24*(128*f^4*k^2 + 28*f^2*k^4 - k^6)*r^2 + 8*(64*f^6*k + 48*f^4*k^3 + 12*f^2*k^5 + k^7)*r + (16*f^6 - 40*f^4*k^2 + f^2*k^4 + 16*f^2*k^2*r^2 + 24*f^2*k*r^3 + 12*f^2*r^4 - 4*(20*f^4*k - f^2*k^3)*r)*(144*(64*f^6 + 48*f^4*k^2 + 12*f^2*k^4 + k^6 + 108*f^2*r^4 + 8*(27*f^2*k + k^3)*r^3 + 12*(13*f^2*k^2 + k^4)*r^2 + 6*(16*f^4*k + 8*f^2*k^3 + k^5)*r)*sqrt(64/3*f^6 + 16*f^4*k^2 + 4*f^2*k^4 + 1/3*k^6 + 36*f^2*r^4 + 8/3*(27*f^2*k + k^3)*r^3 + 4*(13*f^2*k^2 + k^4)*r^2 + 2*(16*f^4*k + 8*f^2*k^3 + k^5)*r)*(k + r)*r/f^5 - 72*(k^6 + 6*k^5*r + 31*k^4*r^2 + 84*k^3*r^3 + 94*k^2*r^4 + 36*k*r^5 + 16*(k^2 + 2*k*r + r^2)*f^4 + 4*(5*k^4 + 20*k^3*r + 46*k^2*r^2 + 52*k*r^3 + 21*r^4)*f^2)*(16*f^4 + k^4 + 4*k^3*r + 4*k^2*r^2 + 8*(4*k^2 + 8*k*r + 3*r^2)*f^2)/f^4 + (16*f^4 + k^4 + 4*k^3*r + 4*k^2*r^2 + 8*(4*k^2 + 8*k*r + 3*r^2)*f^2)^3/f^6 + 864*(4*k^8*r^2 + 32*k^7*r^3 + 100*k^6*r^4 + 152*k^5*r^5 + 112*k^4*r^6 + 32*k^3*r^7 + 16*(k^4 + 4*k^3*r + 22*k^2*r^2 + 36*k*r^3 + 17*r^4)*f^6 + 8*(2*k^6 + 12*k^5*r + 71*k^4*r^2 + 204*k^3*r^3 + 252*k^2*r^4 + 128*k*r^5 + 19*r^6)*f^4 + (k^8 + 8*k^7*r + 110*k^6*r^2 + 548*k^5*r^3 + 1061*k^4*r^4 + 740*k^3*r^5 - 128*k^2*r^6 - 360*k*r^7 - 108*r^8)*f^2)/f^4)^(1/3))/(144*(64*f^6 + 48*f^4*k^2 + 12*f^2*k^4 + k^6 + 108*f^2*r^4 + 8*(27*f^2*k + k^3)*r^3 + 12*(13*f^2*k^2 + k^4)*r^2 + 6*(16*f^4*k + 8*f^2*k^3 + k^5)*r)*sqrt(64/3*f^6 + 16*f^4*k^2 + 4*f^2*k^4 + 1/3*k^6 + 36*f^2*r^4 + 8/3*(27*f^2*k + k^3)*r^3 + 4*(13*f^2*k^2 + k^4)*r^2 + 2*(16*f^4*k + 8*f^2*k^3 + k^5)*r)*(k + r)*r/f^5 - 72*(k^6 + 6*k^5*r + 31*k^4*r^2 + 84*k^3*r^3 + 94*k^2*r^4 + 36*k*r^5 + 16*(k^2 + 2*k*r + r^2)*f^4 + 4*(5*k^4 + 20*k^3*r + 46*k^2*r^2 + 52*k*r^3 + 21*r^4)*f^2)*(16*f^4 + k^4 + 4*k^3*r + 4*k^2*r^2 + 8*(4*k^2 + 8*k*r + 3*r^2)*f^2)/f^4 + (16*f^4 + k^4 + 4*k^3*r + 4*k^2*r^2 + 8*(4*k^2 + 8*k*r + 3*r^2)*f^2)^3/f^6 + 864*(4*k^8*r^2 + 32*k^7*r^3 + 100*k^6*r^4 + 152*k^5*r^5 + 112*k^4*r^6 + 32*k^3*r^7 + 16*(k^4 + 4*k^3*r + 22*k^2*r^2 + 36*k*r^3 + 17*r^4)*f^6 + 8*(2*k^6 + 12*k^5*r + 71*k^4*r^2 + 204*k^3*r^3 + 252*k^2*r^4 + 128*k*r^5 + 19*r^6)*f^4 + (k^8 + 8*k^7*r + 110*k^6*r^2 + 548*k^5*r^3 + 1061*k^4*r^4 + 740*k^3*r^5 - 128*k^2*r^6 - 360*k*r^7 - 108*r^8)*f^2)/f^4)^(1/3))/f^2
Bonjour,
Je n'ai pas le courage de résoudre en littéral, je le fais pour un exemple numérique.
Je prends: f = 2 ; k = 2,5 et r = 0,3
parabole : y = -sqrt(8x)
droite : y = -2,5.x
Centre du cercle C(Xc ; -k-r) ; C(Xc ; -2,8)
Soit P(Xp ; -sqrt(8.Xp)) un point de la parabole.
On doit avoir |PC| = 0,3, soit donc PC² = 0,3²
(Xc - Xp)² + (2,8 - sqrt(8.Xp))² = 0,3² (1)
Dérivée de la relation de la parabole :: y' = -1/2 * sqrt(8) * x^(-1/2) = -sqrt(2)/sqrt(x)-->
Donc la pente de la tangente à la parabole au point P est : p1 = -sqrt(2)/sqrt(Xp)
La pente de la droite CP est p2 = (2,8 - sqrt(8Xp))/(Xp-Xc)
Et on doit avoir p1 = p2 --> -sqrt(2)/sqrt(Xp) = (2,8 - sqrt(8Xp))/(Xp-Xc)
... qui permet de tirer : Xc = Xp + 4 - 2,8/sqrt(Xp/2) (2)
Dans (1), on remplace Xc par ce qui est trouvé dans (2). On a alors une équation dont la seule inconnue est Xp
On résout cette équation et on trouve Xp = 0,8679
Et en remettant cette valeur dans (2), on trouve Xc = 0,6174
Les coordonnées du centre du cercle sont donc : C(0,6174 ; -2,8)
*****
Ce n'est évidemment qu'une manière de faire parmi d'autres.
Attention erreur de recopie dans ma réponse précédente.
Remplacer la phrase "Donc la pente de la tangente à la parabole au point P est : p1 = -sqrt(2)/sqrt(Xp)"
par "Donc la pente de la normale à la parabole au point P est : p1 = sqrt(Xp/2)"
Voici ce que propose MISTRAL
Je vous remercie tous, j'ai ma solution (MISTRAL a tout faux)
Bonjour,
Et quelle solution as -tu ? Peux-tu en dire plus ?
La modélisation du problème sous forme d'un système d'équations polynomiales ne pose pas de problème. Après, il y a des méthodes de calcul formel qui sont bien développées pour traiter ces systèmes polynomiaux, et des logiciels pour faire ces calcul sans peine. J'utilise pour ma part SageMath (libre et gratuit).
(16*f^2)*x^4 + (-32*f^3 - 8*f*k^2 - 16*f*k*r - 16*f*r^2)*x^3 + (16*f^4 + 32*f^2*k^2 + 64*f^2*k*r + 24*f^2*r^2 + k^4 + 4*k^3*r + 4*k^2*r^2)*x^2 + (-8*f^3*k^2 - 16*f^3*k*r + 24*f^3*r^2 - 10*f*k^4 - 40*f*k^3*r - 58*f*k^2*r^2 - 36*f*k*r^3)*x + (-16*f^4*r^2 + f^2*k^4 + 4*f^2*k^3*r - 14*f^2*k^2*r^2 - 36*f^2*k*r^3 - 27*f^2*r^4 + k^6 + 6*k^5*r + 12*k^4*r^2 + 8*k^3*r^3)Code:R.<f,k,r>=PolynomialRing(QQ,'f,k,r') # les paramètres F=FractionField(R) S.<t,x>=PolynomialRing(F,'t,x') # les variables : t ordonnée du point P sur la parabole, # x abscisse du centre M recherché P=vector([t^2/4/f, t]) # point sur la parabole V=vector([t/2/f,1]) # dirige la tangente en P M=vector([x,-k-r]) # centre du cercle cherché Eq1=(M-P).dot_product(V) # (MP) orthogonal à la parabole Eq2=(M-P).dot_product(M-P) -r^2 # MP^2 = r^2 Eqenx = S.ideal([Eq1,Eq2]).elimination_ideal(t).gens()[0] # élimination de t Eqenx
Et après, pour traiter un exemple numérique (je reprends celui de BlackJack) :
[(0.617353725416322, 1), (1.35005200186293, 1)]Code:fex=2; kex=2.5 ; rex=0.3 expr=SR(Eqenx).subs({f:fex,k:kex,r:rex}) expr.roots(SR(x),ring=RR)
Il y a bien un deuxième cercle de rayon r centré sur y = -k tangent à la parabole, mais tangent intérieurement.
Tu dis avoir la même problématique avec des ellipses. Si un axe de l'ellipse est parallèle à l'axe de la parabole, ça se ramène facilement au cas d'un cercle.
