Martingale et probabilité d'extinction

[invitea8d97425]

Bonjour amis probabilistes,

Je travaille actuellement sur un projet de maths et je suis à la recherche d'une démonstration. Voici le contexte :
On considère une population de taille N qui peut posséder des allèles a et A d'un gène (seon AA, aA,...) ; on a 2N allèles. On considère que la combinaison entre gènes d'une génération à l'autre se fait de manière indépendante et uniforme ; on a donc une probabilité de i/2N pour qu'un gène de la génération n+1 soit un a si on a i gènes a à la génération n.
Si on note X_n le nombre de gènes a à la nè génération, on obtient une chaîne de Markov de matrice P telle que :

p_ij=C(j,2N)*(i/2N)^j*((2N-i)/2N)^2N-j

A partir de là, on note que E(X_n+1/X_n=i) = i, on a donc affaire à une martingale. C'est là que le texte est rapide : il affirme directement que l'on peut en déduire que la probabilité d'extinction du gène A est e_r=r/2N si on a r gènes a au départ. Ils font également le même raccourci dans le lien de la biblio de maths sur les martingales.
Du coup, je me demande s'il existe une démonstration "intuitive" qui permettrait de comprendre cette probabilité ? Et aussi s'il existe une démonstration un tant soit peu rigoureuse qui n'utilise pas la théorie de la mesure et les CV presques sûres, que je n'ai pas encore vu ? Sinon, il va falloir m'y plonger, et cela pourrait allourdir l'exposé de la question...
Merci d'avance.
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[invitedf667161]

Salut.

Le truc trés important à retenir à propos des martingales, ce sont les théorèmes d'arrêt et aussi que les espérances de toutes les variables qui constituent ta martingale sont les mêmes. Je crois que tu dois pouvoir t'en sortir avec ça, mais je ne sais pas si dans ce cas là c'est compliqué.

[invitea8d97425]

Ben en effet, ils utilisent le fait qu'en gros, l'espérance garde sa valeur "à la limite", et ils introduisent un temps d'arrêt... Mais le temps d'arrêt (pour ce que j'en ai lu) s'utilise surtout pour savoir "si l'on s'arrête maintenant ou plus tard" et moins pour traduire une extinction ou une ruine. Et les théorèmes d'arrêts me parlent d'inégalités d'espérance à propos des maximas atteints par la martingale avant un certain n. Dans tout ça, je ne vois pas comment introduire la probabilité d'extinction.

C'est pourquoi (avant d'être contraint de me plonger dans la théorie) je réitère ma question : peut-on avoir une idée intuitive de la valeur de cette probabilité d'extinction ?