Bonjour amis probabilistes,
Je travaille actuellement sur un projet de maths et je suis à la recherche d'une démonstration. Voici le contexte :
On considère une population de taille N qui peut posséder des allèles a et A d'un gène (seon AA, aA,...) ; on a 2N allèles. On considère que la combinaison entre gènes d'une génération à l'autre se fait de manière indépendante et uniforme ; on a donc une probabilité de i/2N pour qu'un gène de la génération n+1 soit un a si on a i gènes a à la génération n.
Si on note Xn le nombre de gènes a à la nè génération, on obtient une chaîne de Markov de matrice P telle que :
pij=C(j,2N)*(i/2N)j*((2N-i)/2N)2N-j
A partir de là, on note que E(Xn+1/Xn=i) = i, on a donc affaire à une martingale. C'est là que le texte est rapide : il affirme directement que l'on peut en déduire que la probabilité d'extinction du gène A est er=r/2N si on a r gènes a au départ. Ils font également le même raccourci dans le lien de la biblio de maths sur les martingales.
Du coup, je me demande s'il existe une démonstration "intuitive" qui permettrait de comprendre cette probabilité ? Et aussi s'il existe une démonstration un tant soit peu rigoureuse qui n'utilise pas la théorie de la mesure et les CV presques sûres, que je n'ai pas encore vu ? Sinon, il va falloir m'y plonger, et cela pourrait allourdir l'exposé de la question...
Merci d'avance.
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