Demonstration sur les applications
Bonjour a tous,
Je dois resoudre un exercice de mathématiques ( niveau sup PCSI) mais je n'y arrive pas. Pouvez vous m'indiquer comment faire ? Voici l'ennoncé :
Soit f : E -> F . Demontrer que f est bijective ssi : Pour tout A appartenant à P(E), f(E\A) = F\ f(A).
" P(E) étant une partie de E "
Merci
Au plazir de vous aider....
il va falloir montrer les deux implications !
as tu reussit l'un des deux sens ?
Non je ne vois vraiment pas comment commencer...
Car pour montrer la bijectivité, il faut montrer la surjectivité et l'injectivité, enfin je pense
Mais je n'y arrive pas du tout...
Merci de m'aider
essai de commencer par le sens "si f est bijective alors ..." c'est tres simple !
pour l'autre sens : il faut montré que f est surjective, ne pense tu pas pouvoir montrer que f(E) = F ce qui signifie que f est surjective ?
pour montrer que f est injective tu peut le faire comme sa :
soit a et b telle que f(a)=f(b).
f(E-{a}) =F-f{a}
f(b) = f(a), donc b appartiens a f{a} !
si on suppose a different de b, on a b appartien a E-{a}, donc f(b) appartie a F-f{a} et b appartien a f{a} : c'est contradictoire !!
donc a=b, d'ou f est injective.
Pourrais tu me réexpliqué point par point ?
Je suis désolé de t'embeter autant mais c'est pour ma redaction de Kholle avec un proff ultra exigeant.
Ca serait vraiment simpa.
J'ai compri pour le cas de l'injectivité mais pas pour le cas de la surjectivité.Jene vois pas comment faire.Ensuite il advient que l'equation montre que f est surjective et injective donc f est bijective.
Merci de me refaire le raisonnement
Cordialement
Salut,
Si tu commences par supposer que f est bijective, tu te donnes ensuite une partie A de P(E) et tu vérifies par double inclusion que f(E\A)=F\f(A). Ce sens se fait à peu près immédiatement.
Si tu supposes que pour tout A de P(E), f(E\A)=F\f(A) alors la surjectivité est évidente (choisis un ensemble A judicieux et très simple !). Pour l'injectivité, donnes toi x et x' tels que f(x)=f(x'), il te restes ensuite à choisir A pour prouver que x=x'.
@+
si tu prend A vide, tu as f(E) = F !
cela signifie exactement f est surjective.
Re : Demonstration sur les applications
Immédiatement et comment ?Envoyé par IceDL
Je dois vous avouer que l'on presque rien fait sur les applications et il me donne un exo comme ca.
Le reste j'ai compris.
Help me
Thanks
Et en plus, je ne vois comment montrer que f est bijective par double inclusion :
J'ai noté : Supponsons f bijective. Pour A appartenant à P(E), on a f(E\A) = f(E)\f(A) or f(E) = F d'ou f(E\A) = F\f(A)
C'est pas de la demonstration ca ? Il y a t'il qqchose a rajouté ?
Merci de m'aider
" f(E\A) = f(E)\f(A) "
cette propriete est-elle dans ton cours ?
elle est vrai (c'est justement ce que tu dois demontré)
mais si elle n'est pas dans ton cours tu na pas repondu a la question !
Non elle n'y est pas.
Comment fait on alors pour la démontrer ?
Ca me parait evident avec les "patates" ( representation graphique) mais par le calcul je ne vois vraiment pas ..
et bien commence tranquiellement :
soit f bijective :
on prend y dans f(E-A), qu'est ce que sa signifie ? qu'il existe x dans E-A, telle que f(x)=y.
on doit montré que y est dans f(E)-f(A). sa veux dire que y est dans f(E), sa c'est evident, car f est surjective, donc tous est dans f(E), mais que y n'est pas dans f(A), ca sa veux dire qu'il n'exste pas de a dans A, telle que f(a) = y.
pourquoi aurait-on cela ? et bien si il existait un telle a, on aurait f(a) = f(x), avec x diffrent de a (puisque x est dans E-A et a dans A) donc f n'est pas injective !
d'ou f(E-A) est inclu dans f(E)-f(A) !
voila la demarche a emloyer face a ce type d'exo.
Ok merci c'est vraiment simpa de compter sur des gars comme toi
J'y vois totalement plus clair.
Tu fais quoi comme etudes ?
merci^^
je suis en mp*
héhé simpatoch
Je te remercie beaucoup, jespere ne pas me faire trop tué par le proff de math demain
Bye bye
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