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[Rapide] triangle équi et complexe



  1. #1
    fredo490

    [Rapide] triangle équi et complexe


    ------

    Soient A(a), B(b), C(c) trois points du plan complexe; montrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si :

    a + jb + j²c = 0 où j = exp(i 2/3 pi)
    je sais que ça doit être con comme tout mais je vois pas le truc !
    Graphiquement je vois la chose (= rotation) mais comment "démontrer" ça de façon calculatoire ?!
    Une piste pour moi ?

    Merci d'avance

    -----

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  4. #2
    lou_ibmix_xi

    Re : [Rapide] triangle équi et complexe

    Salut,

    Une rotation dans le plan complexe revient à une multiplication par un nombre complexe, cela devrait t'aider.

  5. #3
    fredo490

    Re : [Rapide] triangle équi et complexe

    Citation Envoyé par lou_ibmix_xi Voir le message
    Salut,

    Une rotation dans le plan complexe revient à une multiplication par un nombre complexe, cela devrait t'aider.
    Ben c'est pour ça que c'est multiplié par j ! Qui est complexe (sous la forme exponentielle).
    Quand je dis que je vois le truc, c'est que je vois se que réalise la formule ! Mais il me faut un truc "calculatoire"

  6. #4
    Jeanpaul

    Re : [Rapide] triangle équi et complexe

    Prends le triangle équilatéral (1 , j, j²) et demande-toi comment on peut passer de ce triangle au triangle ABC dans le déformer ?
    Comment trouver cette transformation ?

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  8. #5
    fredo490

    Re : [Rapide] triangle équi et complexe

    Et en mots plus simple ça donne ?!
    Comme dit mon prof "on sort de terminul" ...

    Je présume qu'il y a une erreur de frappe dans ta réponse "dans" = "sans" ...
    Tu parle d'une similitude (rotation + homothétie de même centre + translation) ?! Mais bon ça me fait déjà peur rien qu'à y penser :$

    Si c'est ça, merci de me répondre "tot" pour que j'y passe pas toute la nuit lol
    Je voudrais bien une "confirmation" de mes idées à tendance masochiste ...

  9. #6
    drazala

    Re : [Rapide] triangle équi et complexe

    ABC est equilatéral direct si AB et AC ont même longueur (traduction sur les complexes?).
    Et si l'angle BAC vaut pi/3 donc traduit ca sur le complexe (c-a)/(b-a) et finit le calcul (une multiplication de l'équation obtenue par aide bien )

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  11. #7
    Jeanpaul

    Re : [Rapide] triangle équi et complexe

    Citation Envoyé par fredo490 Voir le message
    Je présume qu'il y a une erreur de frappe dans ta réponse "dans" = "sans" ...
    Tu parle d'une similitude (rotation + homothétie de même centre + translation) ?! Mais bon ça me fait déjà peur rien qu'à y penser :$
    N'exagérons rien ! Si on prend le complexe Z, il représente un vecteur OM. Si on multiplie par le complex u, le produit Z u est représenté par le vecteur ON dont la longueur est celle de OM multipliée par le module de u et qui a tourné de l'argument de u. Pas trop dur, quand même.
    Pour une translation de vecteur correpondant à v, le complexe, c'est Z + v.

    Quand on combine, on voit donc que l'on part des 3 complexes (1, j, j²) et qu'on arrive aux 3 complexes (a, b, c) et qu'on a donc :
    a = 1.u + v
    b = j. u + v
    c = j².u + v
    après avoir fait la similitude décrite par u puis la translation décrite par v (qu'on ne connaît pas)
    Ensuite, tu y vas tout seul..;

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