primitive

[invite82bf128d]

bonjour à tous
je n'arrive pas à trouver la primitive de cette fonction :
c'(x)=exp((x²/2)-x)/(1-x)

(c'est pour la résolution d'une équa diff qui est :
g'+((x²-2x)/(1-x))g=-1)

voilà, si qulqu'un pouvait m'aider, merci.
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[invite13b423f5]

Laisse peut etre la primitive de son exponentielle sous forme intégrale. Dans mon cours , on peut le faire quand les inegrales sont trop complexe a calculer. Sinon telecarge Mappy, un logiciel de resolution d'équa diff

Cdlt

[Nicolas666666]

Je pense que tu n'a pas la bonne méthode, multiplie toute ton equa. diff. par (1-x) et là à mon avis ce sera un peu plus simple.
Cordialement. Nico
P.S. : Je vérifie quand même que ce soit plus simple, et n'oublions pas d'extraire x=1.

[Nicolas666666]

J'ai vérifié, effectivement, avec ce que je viens de te dire, la primitive que tu as pour obtenir la solution de l'equation homogène est beaucoup plus facile à résoudre que celle que tu as.. Si tu bloques, je pourrais t'expliquer plus en détails ce que j'ai fais.
Cordialement Nico.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b9cdbca]

Laisse peut etre la primitive de son exponentielle sous forme intégrale. Dans mon cours , on peut le faire quand les inegrales sont trop complexe a calculer. Sinon telecarge Mappy, un logiciel de resolution d'équa diff

Cdlt

J'aurais Maple, moi...

Sinon pourquoi ne pas essayer de décomposer ta fraction en éléments simples ?

[Nicolas666666]

Sinon pourquoi ne pas essayer de décomposer ta fraction en éléments simples ?

Celle qu'il a dans son 1er post? je ne vois pas très bien, je pense que ma méthode est plus simple, mais bon etant donné que je n'ai pas compris la tienne..

[rna]

Bonjour tout le monde,

En fait et sauf erreur de ma part, la fonction c'(x) du premier post est la solution de l'équation différentielle à une constante multiplicative près. On peut le vérifier en remplaçant dans l'équation. Il n'y a donc pas besoin d'intégrer cette fonction pour résoudre le problème.

[invite4b9cdbca]

g'+((x²-2x)/(1-x))g=-1

Le but étant de trouver une primitive de -(x²-2x)/(1-x)
Soit ça se trouve tout seul, sot il décompose en éléments simples, souvent c'est très facile à intégrer (la plupart du temps ce sera la somme d'un polynôme et d'un logarithme...

Je pars du principe que pour trouver la solution à :
ay'+by=c
On cherche une primitive de -b/a sur chaque intervalle où a ne s'annule pas.

Donc en fait c'est encore pas mal lourd a finir...

[Nicolas666666]

ah oui en fait c'est exactement ce que j'ai fait, je n'avais pas compris ton 1er post, autant pour moi!

[invite82bf128d]

merci
nicolas66666, je ne comprends pas trop comment tu fais, parce que jusqu'ici, j'ai résolu des équa diff sous la forme :
y'+a(t)y=b(t)

d'abord pour l'équation homogène, j'ai trouvé :
h(x)=C.exp(ln(x-1)+x-(x²/2))

et puis après je voulais utiliser la méthode de la variation de la constante (qui marche très bien d'ahbitude):

g(x)=c(x).exp(ln(x-1)+x-(x²/2))
g'(x)=(c'(x)+(1/(x-1)+1-x).c(x)).exp(ln(x-1)+x-(x²/2)

voilà, et après je remplace dans l'équa diff.
et j'obtient c'(x). et normalement après, je devrais obtenir c(x) en intégrant.

voilà. donc nico, est-ce que tu pourrais m'expliquer ta méthode ? merci beaucoup .

[invite4b9cdbca]

juste une remarque, normalement tu ne dois utiliser la méthode de variation de la constante qu'en dernier recours, car elle est très lourde.
Essaie plutôt de chercher une solution évidente.
Si ton second membre est un polynôme, cherche un polynôme.
Ici ton second membre est -1...
f(x) = -1 est alors une solution particulière qui sied tout à fait.

[invite82bf128d]

g'+((x²-2x)/(1-x))g=-1
si f(x)=-1 , on a :

(2x-x²)/(1-x)=-1

je ne comprends pas comment on peut dire que -1 est solution.

[invite4b9cdbca]

oui pardon, erreur de ma part.
Sorry sorry, j'avais oublié qu'on avait une fraction au début.

[Nicolas666666]

En fait je transforme ton equa. diff. du début, en multipliant tout les membres par (1-x), après je trouve y'/y=F(x) et je primitive (méthode habituelle), en mettant F(x) sous la forme somme d'éléments simples, et c'est de suite plus simple (à mon avis). Voilà!

[invite82bf128d]

je suis désolée de continuer à poser des questions, mais comment peut-on arriver à trouver g'/g ?
à droite du signe "=" il reste : (x-1)/g

nico, ta méthode, c'est bien pour trouver une sol particulière ?

[invitee240f783]

En fait je transforme ton equa. diff. du début, en multipliant tout les membres par (1-x), après je trouve y'/y=F(x) et je primitive (méthode habituelle), en mettant F(x) sous la forme somme d'éléments simples, et c'est de suite plus simple (à mon avis). Voilà!

Bonsoir Nicolas666666,

quand tu trouves y'/y, tu prends l'équation de départ multipliée par (1-x) puis tu fais y=.... et y'=.... et c'est là que tu fais le quotient?
j'ai essayé mais je n'aboutis pas; ce serait sympa si tu pouvais m'expliquer

merci

[invite82bf128d]

nicolas666666, je crois que tu me parlais de la solution homogène en fait, et on arrive au même résultat.
en fait j'ai des problèmes pour la solution particulière...

[invite82bf128d]

calia, je pense que nicolas666666 a résolu :
(1-x).g'+(x²-2x).g=0

mais je ne sais pas, peut-être que je n'ai toujours rien compris...

[Nicolas666666]

oui je parlais de la solution homogene, desole si je me suis mal exprimé.
Pour la solution particulière je regarde la ou est le probleme et je reviens! cordialement!
(J'avais résolu l'equa. homogene parceque ta solution est plutôt pas terrible, de tête)

[Nicolas666666]

J'ai la même en fait, je m'étais mélangé les pinceaux, par contre c'est vrai que c'est peut-etre mieux de chercher un polynome (comme solution particulière) de degré n plutôt que de faire la variation de la constante comme l'a dit kron.. j'essaie les 2..

[Nicolas666666]

blop.... je bloque.... J'en suis toujours au même problème des valeurs absolues (je l'ai soulevé dans un autre post dans la même section)... bref... attendons qu'un matheux de haut vol passe par ici

[invite82bf128d]

nan mais c'est bon parce que g est définie sur ]1;+oo[.

[Nicolas666666]

ah evidemment ça simplifie, je viens de relire mes calculs en changeant ce qui n'allaient plus avec le nouveau intervale de définition, ça m'a l'air plus faisable.
Cordialement

[invite8a9c4639]

On peut vérifier que g(x) = 1 / ( x - 1 ) est solution particulière de l'équation différentielle :

g'(x) ( 1- x ) + g ( x )( x² - 2x ) =
( x - 1 ) / ( x - 1 )² + ( x² - 2x ) / ( x - 1 ) =
(( x - 1 ) + ( x - 1 ) ( x² - 2x )) / ( x - 1)² =
( x - 1 )( x² - 2x + 1 )/( x - 1 )² =
x - 1

donc on a :
g'(x) + g(x)( x² - 2x ) / (1 - x ) = -1

La solution de l'équation homogène étant :
g(x) = C exp( x²/2 - x) / ( x - 1 )

La solution de l'équation de départ est :
g(x) = ( C exp( x²/2 - x) + 1 ) / ( x - 1 )

[invite82bf128d]

ok merci beaucoup armor92 !
mais comment as-tu fait pour trouver cette solution ?
parce qu'elle n'est pas forcément évidente...
et pourquoi la méthode de la variation de la constante semble ne pas marcher ??

La solution de l'équation homogène étant :
g(x) = C exp( x²/2 - x) / ( x - 1 )

par contre, la solution de l'équation homogène est :
g(x) = C.exp(ln((x-1)+x-x²/2) = C.(x-1).exp(x-x²/2)

il me semble...

en tout cas merci beaucoup !

[invite82bf128d]

test TEX

[edpiste]

bonjour à tous
je n'arrive pas à trouver la primitive de cette fonction :
c'(x)=exp((x²/2)-x)/(1-x)

On peut résoudre ça directement par les méthodes du calcul intégral.

1. reconnaitre que (x²/2)-x = 1/2((x-1)^2)- 1)
2. faire le changement de variable (naturel) u=x-1
3. écrire le devt de l'exp en série entière :
e^u = 1 + u + u^2/2! + ...
4. intégrer terme à terme
5. simplifier
6. vérifier que les calculs formels précédents ont donné une solution du problème

[invite82bf128d]

edpiste, je n'ai pas trop compris...
on remplace x-1 par u dans l'exp et au dénominateur ?
et je n'ai pas compris le dvloppement de l'exp...

[invite82bf128d]

nan c'est bon, en fait je n'ai pas vu ça encore. donc je me demande si cette équa diff est résolvable à mon niveau...

[invite82bf128d]

par contre, la solution de l'équation homogène est :
g(x) = C.exp(ln((x-1)+x-x²/2) = C.(x-1).exp(x-x²/2)

non non non ! que nenni mon nom est personne !!
c'était une erreur de signe qui était à l'origine de cette prise de tête fantastique !!!
désolée !