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Question : équations avec exponentielles



  1. #1
    shokin

    Question Question : équations avec exponentielles


    ------

    salut tlm,

    j'ai juste une question : peut-on résoudre les équations du genre x*2^x=24 (ici, à tatillon, la solution est 3). Si oui, comment ? ya-t-il du calcul différentiel ?

    ou encore x^x=27, ...

    merci d'avance

    -----
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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  4. #2
    lloicus

    Re : Question : équations avec exponentielles

    x^x = 27

    ln(x^x)=ln(27)

    x*ln(x) = ln(27)

    et puis la tu t'amuse
    lol

    tu vx tjrs faire le developement de taylor de ln(x) (mais ln(x) ca pue pour taylor) donc, je vais te proposer une solution plus géométrique :

    ln(x) = ln(27)/x

    voila tu dessine le graphe de ln(x), et le graphe de ln(27)/x
    aussi ln(27) = ln(3³) = 3*ln(3)
    donc tu cherche l'intersection entre ln(x) et (3*ln(3))/x

    sur le dessin sa donne effectivement une racine a 3

    sinon la forme (ln(x) = ln(27)/x) de ton probleme, te permet aussi de le résoudre avec une recherche de point fixe, par une fonction F(X1) = X2, (F(Xn) = Xn+1)

    Avec F(Xn) = ln(27)/ln(Xn) = Xn+1

    je trouve ceci :
    X0 = 4.75489
    X1 = 2.11384
    X2 = 4.40323
    X3 = 2.2234
    X4 = 4.12475
    X5 = 2.32592
    X6 = 3.90449
    X7 = 2.41962
    X8 = 3.72996
    X9 = 2.50368
    X10 = 3.59117
    X11 = 2.57794
    X12 = 3.48033
    X13 = 2.64274
    X14 = 3.39141
    X15 = 2.69875
    X16 = 3.31978
    X17 = 2.74676
    X18 = 3.26184
    X19 = 2.78767
    X20 = 3.2148
    X21 = 2.82234
    X22 = 3.1765
    X23 = 2.85161
    X24 = 3.14523
    X25 = 2.87623
    X26 = 3.11964
    X27 = 2.89689
    X28 = 3.09865
    X29 = 2.91418
    X30 = 3.08141
    X31 = 2.92863
    X32 = 3.06723
    X33 = 2.94068
    X34 = 3.05555
    X35 = 2.95072
    X36 = 3.04592
    X37 = 2.95909
    X38 = 3.03797
    X39 = 2.96604
    X40 = 3.03141
    X41 = 2.97182
    X42 = 3.02599
    X43 = 2.97663
    X44 = 3.02151
    X45 = 2.98062
    X46 = 3.01781
    X47 = 2.98393
    X48 = 3.01474
    X49 = 2.98667
    X50 = 3.01221
    X51 = 2.98895
    X52 = 3.01011
    X53 = 2.99084
    X54 = 3.00837
    X55 = 2.99241
    X56 = 3.00693
    X57 = 2.99371
    X58 = 3.00574
    X59 = 2.99479
    X60 = 3.00476
    X61 = 2.99568
    X62 = 3.00394
    X63 = 2.99642
    X64 = 3.00326
    X65 = 2.99703
    X66 = 3.0027
    X67 = 2.99754
    X68 = 3.00224
    X69 = 2.99796
    X70 = 3.00186
    X71 = 2.99831
    X72 = 3.00154
    X73 = 2.9986
    X74 = 3.00127
    X75 = 2.99884
    X76 = 3.00106
    X77 = 2.99904
    X78 = 3.00087
    X79 = 2.9992
    X80 = 3.00072
    X81 = 2.99934
    X82 = 3.0006
    X83 = 2.99945
    X84 = 3.0005
    X85 = 2.99955
    X86 = 3.00041
    X87 = 2.99962
    X88 = 3.00034
    X89 = 2.99969
    X90 = 3.00028
    X91 = 2.99974
    X92 = 3.00023
    X93 = 2.99979
    X94 = 3.00019
    X95 = 2.99982
    X96 = 3.00016
    X97 = 2.99985
    X98 = 3.00013
    X99 = 2.99988
    X100 = 3.00011
    X101 = 2.9999
    X102 = 3.00009
    X103 = 2.99992
    X104 = 3.00008
    X105 = 2.99993
    X106 = 3.00006
    X107 = 2.99994
    X108 = 3.00005
    X109 = 2.99995
    X110 = 3.00004
    X111 = 2.99996
    X112 = 3.00004
    X113 = 2.99997
    X114 = 3.00003
    X115 = 2.99997
    X116 = 3.00002
    X117 = 2.99998
    X118 = 3.00002
    X119 = 2.99998
    X120 = 3.00002
    X121 = 2.99998
    X122 = 3.00001
    X123 = 2.99999
    X124 = 3.00001
    X125 = 2.99999
    X126 = 3.00001
    X127 = 2.99999
    X128 = 3.00001
    X129 = 2.99999
    X130 = 3.00001
    X131 = 2.99999
    X132 = 3.00001
    X133 = 3
    X134 = 3

    y a un petit probleme, mon X0 est en faite mon X1, et ainsi de suite
    j'ai choisis comme X0 une solution pas trop eloignée de la solution du probleme, a savoir ici X = 2

    voila, j'espere t'avoir aidé

  5. #3
    lloicus

    Re : Question : équations avec exponentielles

    PS : il est évident que pour le problème x^x = 27, il ne faut pas faire autant de calcul, car il est clair que x = 3 est la seule solution du problème!

    Mais comme ca tu as une méthode de résolution générale

  6. #4
    Quinto

    Re : Question : équations avec exponentielles

    Qu'est ce que le calcul différentiel viendrait faire ici?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    shokin

    Talking Re : Question : équations avec exponentielles

    merci, lloicus, pour ta méthode de recherche de point fixe, je vais la mettre en pratique... dans d'autres problèmes aussi...

    pour ce qui est du calcul différentiel, Quinto, non c'était juste une idée, mais si je peux m'en passer...
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  9. #6
    lloicus

    Re : Question : équations avec exponentielles

    pas de problème...

    j'aime bien les ptits problème comme ca

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  11. #7
    Quinto

    Re : Question : équations avec exponentielles

    Mais le calcul différentiel est en rapport avec un certain type d'équations fonctionelles ce qui n'est pas le cas ici, si?

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