Question : équations avec exponentielles

[shokin]

salut tlm,

j'ai juste une question : peut-on résoudre les équations du genre x*2^x=24 (ici, à tatillon, la solution est 3). Si oui, comment ? ya-t-il du calcul différentiel ?

ou encore x^x=27, ...

merci d'avance
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[invite69dafe8b]

x^x = 27

ln(x^x)=ln(27)

x*ln(x) = ln(27)

et puis la tu t'amuse
lol

tu vx tjrs faire le developement de taylor de ln(x) (mais ln(x) ca pue pour taylor) donc, je vais te proposer une solution plus géométrique :

ln(x) = ln(27)/x

voila tu dessine le graphe de ln(x), et le graphe de ln(27)/x
aussi ln(27) = ln(3³) = 3*ln(3)
donc tu cherche l'intersection entre ln(x) et (3*ln(3))/x

sur le dessin sa donne effectivement une racine a 3

sinon la forme (ln(x) = ln(27)/x) de ton probleme, te permet aussi de le résoudre avec une recherche de point fixe, par une fonction F(X1) = X2, (F(Xn) = Xn+1)

Avec F(Xn) = ln(27)/ln(Xn) = Xn+1

je trouve ceci :
X0 = 4.75489
X1 = 2.11384
X2 = 4.40323
X3 = 2.2234
X4 = 4.12475
X5 = 2.32592
X6 = 3.90449
X7 = 2.41962
X8 = 3.72996
X9 = 2.50368
X10 = 3.59117
X11 = 2.57794
X12 = 3.48033
X13 = 2.64274
X14 = 3.39141
X15 = 2.69875
X16 = 3.31978
X17 = 2.74676
X18 = 3.26184
X19 = 2.78767
X20 = 3.2148
X21 = 2.82234
X22 = 3.1765
X23 = 2.85161
X24 = 3.14523
X25 = 2.87623
X26 = 3.11964
X27 = 2.89689
X28 = 3.09865
X29 = 2.91418
X30 = 3.08141
X31 = 2.92863
X32 = 3.06723
X33 = 2.94068
X34 = 3.05555
X35 = 2.95072
X36 = 3.04592
X37 = 2.95909
X38 = 3.03797
X39 = 2.96604
X40 = 3.03141
X41 = 2.97182
X42 = 3.02599
X43 = 2.97663
X44 = 3.02151
X45 = 2.98062
X46 = 3.01781
X47 = 2.98393
X48 = 3.01474
X49 = 2.98667
X50 = 3.01221
X51 = 2.98895
X52 = 3.01011
X53 = 2.99084
X54 = 3.00837
X55 = 2.99241
X56 = 3.00693
X57 = 2.99371
X58 = 3.00574
X59 = 2.99479
X60 = 3.00476
X61 = 2.99568
X62 = 3.00394
X63 = 2.99642
X64 = 3.00326
X65 = 2.99703
X66 = 3.0027
X67 = 2.99754
X68 = 3.00224
X69 = 2.99796
X70 = 3.00186
X71 = 2.99831
X72 = 3.00154
X73 = 2.9986
X74 = 3.00127
X75 = 2.99884
X76 = 3.00106
X77 = 2.99904
X78 = 3.00087
X79 = 2.9992
X80 = 3.00072
X81 = 2.99934
X82 = 3.0006
X83 = 2.99945
X84 = 3.0005
X85 = 2.99955
X86 = 3.00041
X87 = 2.99962
X88 = 3.00034
X89 = 2.99969
X90 = 3.00028
X91 = 2.99974
X92 = 3.00023
X93 = 2.99979
X94 = 3.00019
X95 = 2.99982
X96 = 3.00016
X97 = 2.99985
X98 = 3.00013
X99 = 2.99988
X100 = 3.00011
X101 = 2.9999
X102 = 3.00009
X103 = 2.99992
X104 = 3.00008
X105 = 2.99993
X106 = 3.00006
X107 = 2.99994
X108 = 3.00005
X109 = 2.99995
X110 = 3.00004
X111 = 2.99996
X112 = 3.00004
X113 = 2.99997
X114 = 3.00003
X115 = 2.99997
X116 = 3.00002
X117 = 2.99998
X118 = 3.00002
X119 = 2.99998
X120 = 3.00002
X121 = 2.99998
X122 = 3.00001
X123 = 2.99999
X124 = 3.00001
X125 = 2.99999
X126 = 3.00001
X127 = 2.99999
X128 = 3.00001
X129 = 2.99999
X130 = 3.00001
X131 = 2.99999
X132 = 3.00001
X133 = 3
X134 = 3

y a un petit probleme, mon X0 est en faite mon X1, et ainsi de suite
j'ai choisis comme X0 une solution pas trop eloignée de la solution du probleme, a savoir ici X = 2

voila, j'espere t'avoir aidé

[invite69dafe8b]

PS : il est évident que pour le problème x^x = 27, il ne faut pas faire autant de calcul, car il est clair que x = 3 est la seule solution du problème!

Mais comme ca tu as une méthode de résolution générale

[inviteab2b41c6]

Qu'est ce que le calcul différentiel viendrait faire ici?

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

merci, lloicus, pour ta méthode de recherche de point fixe, je vais la mettre en pratique... dans d'autres problèmes aussi...

pour ce qui est du calcul différentiel, Quinto, non c'était juste une idée, mais si je peux m'en passer...

[invite69dafe8b]

pas de problème...

j'aime bien les ptits problème comme ca

[inviteab2b41c6]

Mais le calcul différentiel est en rapport avec un certain type d'équations fonctionelles ce qui n'est pas le cas ici, si?