Intégrale…

[invitea774bcd7]

Salut à tous

Je cherche à trouver une expression analytique pour l'intégrale suivante :



J'ai alpha positif, beta positif et cette intégrale converge pour n>= -2

En «séparant» le sinus hyperbolique, les deux intégrales ont des formes analytiques mais seulement pour n>=-1. Il faut garder le sinus hyperbolique tel quel pour que ça converge pour n=-2

Maple m'a donné une expression qu'il faut sérieusement que j'épluche () car telle qu'elle, elle diverge pas mal avec le cosinus, la fonction Gamma et les polynômes de Laguerre avec des indices bizarres…



Voilà Si quelqu'un a une idée

Merci d'avance pour vos réponses.
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[invite10a6d253]

Est-ce qu'une petite IPP ne rendrait-elle pas les intégrales convergentes pour n=-2 (en intégrant le monome et dérivant le reste) ?

[invitea774bcd7]

Est-ce qu'une petite IPP ne rendrait-elle pas les intégrales convergentes pour n=-2 (en intégrant le monome et dérivant le reste) ?

Merci pour ta réponse

Tu veux dire en «séparant» le sinus hyperbolique ou pas ?
Car en séparant ce sinh, les intégrants divergent effectivement en r=0 pour n=-2…

Je vais essayer ça

[invite10a6d253]

on fait l'IPP et ensuite on sépare en deux morceaux, qui devraient être chacun intégrables.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea774bcd7]

Alors… Résultat des courses…

J'ai commencé par une IPP en prenant u=exp(-alpha r^2) et v'=(2/beta) r^(1+n) sinh(beta r) pour conserver la convergence pour n=-2 (c'est le produit du sinus hyperbolique et de la puissance de r qui fait converger )
J'obtiens alors cette intégrale :



À partir de là, j'ai pas trouvé grand chose sur cette fonction hypergéométrique avec 2 indices au dénominateur (pas beaucoup de propriétés, transformations en fonctions spéciales, etc…).
Alors j'ai juste écrit sa forme explicite et après un peu de simplifications dans Maple, j'obtiens finalement une forme pas trop mal :



Je vais maintenant étudier un peu cette expression pour savoir si ça converge rapidement ou pas (mon but final est de programmer tout ça en Fortran…)

Si vous voyez une erreur flagrante ou d'autres pensées, n'hésitez pas !

Merci encore

[invite10a6d253]

Perso, j'aurais pris v'=r^{1+n}, justement pour ne pas avoir à m'embêter avec le sinh.
Pour n=-2, ça fait une intégrale en ln(r) tout ce qu'il y a de plus convergente en r=0.

Mais bon, ta méthode doit donner aussi quelque chose.

[invitea774bcd7]

Perso, j'aurais pris v'=r^{1+n}, justement pour ne pas avoir à m'embêter avec le sinh.
Pour n=-2, ça fait une intégrale en ln(r) tout ce qu'il y a de plus convergente en r=0.

Mais bon, ta méthode doit donner aussi quelque chose.

J'ai vu ça, en effet… Sans beaucoup réfléchir, je m'étais dit que ça divergeait en 0. Mais tu as bien évidemment raison : ça converge.
Je peux voir si ça donne une expression plus simple ou pas…

[invite10a6d253]

bon courage. Si une meilleure idée me vient, je te réécris.
Peut-être qu'en prenant n>-2 réel et en faisant tendre n vers -2, on arrive plus rapidement au résultat.