Trajectoire sur un circuit automobile

[invite348a38cd]

Bonjour à tous,

J'adorais les maths durant mes études, cependant, on dirait qu'elles ne m'aiment plus beaucoup c'est pourquoi je me tourne vers vous pour m'aider. Je suis pilote de karting et, pour m'amuser, j'ai essayé de trouver une méthode mathématique afin d'obtenir la trajectoire idéale qu'un véhicule (kart par exemple) devrait emprunter pour décrire un virage dont les bords de piste sont connus (avant le virage, il y a une longue ligne droite, et après le virage aussi. On arrive à l'extérieur du virage, on frôle la corde puis on ressort à l'extérieur du virage).

Plusieurs problèmes se sont posés quand j'ai commencé à réfléchir :

1. Il est absolument nécessaire de préciser un point de départ (notons "A") de la trajectoire, une direction et une vitesse (disons simplement, un point A et un vecteur vitesse). Considérons, pour simplifier, que ce point A est le point où je commence à tourner les roues pour entrer dans le virage, et qu'à ce moment là, je suis dans l'axe de la piste.

2. Il est nécessaire aussi de définir un point d'arrivée (notons "B") et un vecteur vitesse associé à ce point B. Le point B est le point où mon volant est revenu à sa position initiale, et le kart dans l'axe de la piste.

3. Le but est de minimiser le temps passé entre les point A et B (j'ai bien dit le temps, et non la distance).

4. Intuitivement, j'ai l'impression que, ni la parabole, ni l'arc de cercle ne sont les bonnes trajectoires, mais je me trompe peut-être...

C'est alors que mon sens de l'abstraction m'a cruellement fait défaut. Il faut évidemment d'autres paramètres, d'autres informations pour mener à bien ce problème. J'ai pensé que la vitesse est inversement proportionnelle à la courbure de la trajectoire recherchée en tout points, ça semble logique et intuitif pour moi (et, d'ailleurs, ça se vérifie en pratique). Mon problème est de trouver le moyen d'obtenir une valeur réelle de la courbure d'une courbe en un point donné. J'ai essayé la dérivée seconde, mais ce n'est pas bon... (pour une parabole par exemple, la dérivée seconde est constante alors que la courbure change).

J'en suis resté là, me disant que c'était finalement trop compliqué. Puis j'ai eu l'idée de poster sur un forum spécialisé pour voir si quelqu'un pourrait m'éclaircir sur un ou plusieurs points.

Je suis à votre disposition pour tout complément d'informations, et je suis aussi avide de vos bonnes idées.

Merci de m'avoir lu, à bientôt.

Sébastien.
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[invite9c8661be]

Salut!
Pas d'idées là-dessus, j'ai même une autre question...J'ai entendu il y a quelques années de cela , dans turbo je crois, que le point de corde n'était pas le même en moto(plus tôt ,non?) ou en voiture.Dans ce cas, vu que l'objectif doit être le même (minimiser le temps entre A et B) , on aura 2 trajectoires différentes!!? Quid?
A+

[invite9c8661be]

euh...juste une réflexion...mathématiquement ce doit être simple de trouver la/les courbe idéales qui donnent la distance minimum entre A et B.Une restriction sera déjà que la courbe doit être tangente à l'axe de la piste en chacun des points.Le gros souci est que de manière "réaliste", une courbe plus large permettra une vitesse moyenne si élevée (ex : épingle à cheveu)qu'elle permet un gain de temps sur une trajectoire à la corde.Là,interviennent les qualités d'adhérence, couple moteur ,etc...non?
A+

[invite348a38cd]

C'est vrai que je n'avais pas pensé au problème du couple moteur, mais j'avais simplifié en disant que plus les roues sont braquées, moins le kart va vite... c'est qui est une approximation très (trop?) grossière. Pour ce qui est des trajectoires moto/auto, je ne savais pas qu'en moto on passait au point de corde plus tôt, mais c'est effectivement possible car une moto accélère mieux qu'elle ne freine comparativement aux 4 roues.

En revanche, je ne suis pas d'accord (ou n'ai pas compris) quand tu dis "Une restriction sera déjà que la courbe doit être tangente à l'axe de la piste en chacun des points." Non, la trajectoire n'est tangente à l'axe de la piste qu'en 3 points : A, la corde et B, non ?

Existe-t-il un "outil" mathématique qui me donnerait une fonction prenant pour valeur une valeur de la "courbure" d'une courbe (que de répétitions... j'espère que tout le monde suit !) ?

Par exemple, pour la trajectoire y=x², je voudrait une fonction où y est faible à -l'infini (tend vers 0 même), puis croit jusqu'à x=0, puis décroit jusqu'à +l'infini et tend vers 0. Le maximum de cette fonction représenterait la courbure de y=x² en x=0.

Bon ok, si c'est impossible, dites-le moi, je laisse tomber, c'était juste pour m'amuser !
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c8661be]

En revanche, je ne suis pas d'accord (ou n'ai pas compris) quand tu dis "Une restriction sera déjà que la courbe doit être tangente à l'axe de la piste en chacun des points." Non, la trajectoire n'est tangente à l'axe de la piste qu'en 3 points : A, la corde et B, non ?
A+

C'est paresseux de ma part de ne pas avoir écrit "...en chacun des points A et B" , j'en conviens.Désolé.Pour la résolution, c'est trop chaud pour moi,mais il devraiit y avoir des numériciens dans les parages pour te proposer une esquisse de modèle.
a+

[invite58f1e2bf]

On dit que la trajectoire est une fonction paramétrée dans le plan
f (t) = (x,y)

Je pense que le problème contient 2 restrictions :
l'adhérence avec la piste
la motricité

Pour ce qui est de l'adhérence, si on néglige les interactions entre le kart et l'air (il n'y a pas d'aileron pour plaquer le kart sur la piste), alors on peut dire que la norme du vecteur accélération est majorée par une valeur indépendante de la vitesse et ne dépend que du coefficient de frottement phi entre la gomme et le goudron et g l'accélération de la pesanteur.

|f '' (t)| <= g phi

Pour ce qui est de la motricité, si on néglige le frottement avec l'air, et si on considère que le kart possède un variateur qui permet de caler le régime sur le régime de puissance max P, alors la composante longitudinale du vecteur accélération est majorée par la puissance du moteur divisée par la masse m du kart.

f '' (t) . f ' (t) / |f ' (t)| <= P / m

[invite58f1e2bf]

Je pense aussi que dans la modélisation du virage, il est nécessaire de tenir compte de la longueur des 2 lignes droites qui précèdent et qui suivent le virage.

A mon avis, pour le même virage, il peut y avoir des trajectoires idéales différentes selon que la ligne droite qui suit le virage est courte ou longue. Si elle est courte il faut minimiser le temps passé dans le virage au détriment de la vitesse de sortie, et avec un point de corde proche de l'entrée du virage. Au contraire, si elle est longue, il faut maximiser la vitesse de sortie, quitte a passer plus de temps dans le virage, et avec un point de corde plus éloigné de l'entrée du virage.

Tu devrais choisir une ligne de départ et une ligne d'arrivée. Le kart part de la ligne de départ (côté extérieur de la piste) avec une vitesse initiale que tu fixes et il faut minimiser le temps passé avant de franchir la ligne d'arrivée.

[invite348a38cd]

Merci gilllloux, c'est vraiment très pertinent comme remarque, sans ligne d'arrivée, on ne peut pas déterminer la trajectoire qui fait le temps minimal... c'est vrai.
Pour ce qui est des calcul des normes des vecteurs, je te crois sur parole, mais les explications me semblent correctes (la resistance à l'air peut être négligée au regard des "faibles" vitesses atteintes en kart, l'adhérence ne dépend que du coeff de frottement gomme/sol et de g, et pour la motricité, on pourrait considérer que le moteur se situe toujours à un niveau de COUPLE maxi).

Je viens de réussir à comprendre que ma solution ne tient absolument pas la route (considérer que la vitesse dépend de la courbure de la trajectoire) car, s'il en était ainsi, la trajectoire idéale serait deux ou trois segments liés où la vitesse serait maxi puisque courbure nulle et vitesse 0 aux angles.

Bref, veuillez considérer ce sujet clos car ça semble beaucoup trop difficile à simplifier, et, comme le pense Grilllloux, seul un vrai modèle physique pourrait répondre à mes attentes, ce qui n'était pas mon but au départ.

Merci à tous de m'avoir aidé, de m'avoir lu, et d'avoir essayé de me répondre en ayant suffisamment de tact pour ne pas me faire comprendre que mon concept ne tenait pas la route !

Je ne sais pas si je repasserai sur le forum étant donné que je passe plus de temps libre avec les mains dans le cambuis qu'à faire des mathématiques, néanmoins je garderai un très bon souvenir de l'ambiance sympathique et en bonne intelligence des forumeurs de ce site.

A+

[invite58f1e2bf]

en ayant suffisamment de tact pour ne pas me faire comprendre que mon concept ne tenait pas la route !

Non, pas du tout. Personnellement je trouve ca super intéressant comme idée.

A+ (si tu reviens)

[invite58f1e2bf]

J'ai fait une erreur dans la deuxième équation. En fait, il faut :

f '' (t) . f ' (t) <= P / m

Le système global est donc :

| f ' (t) | <= g phi

f '' (t) . f ' (t) <= P / m

( | | est la norme euclidienne et . le produit scalaire )

[invite58f1e2bf]

| f '' (t) | <= g phi

f '' (t) . f ' (t) <= P / m

[invitec634c5d1]

Le sujet est très intéressant !
Il faut d'abord préciser le cadre de notre modélisation physique du comportement du kart: variation de la vitesse en fonction du parcours.
Une fois ce modèle fixé, il est très faisable de déterminer la courbure d'une courbe à tout instant (voir métrique des courbes paramétrées).
Je vais creuser un peu et poster dès que j'aurai plus d'information, mais c'est, je pense, un topic qui peut être fertile et très amusant!
Gogauss