Entier infini ?

**Médiat** · 04/12/2006, 13h46

Envoyé par mmy

Le successeur d'un cardinal κ est le cardinal κ⁺ si, pour tous triplet d'ensembles E1 inclus dans E2 inclus dans E3, E1 de cardinal κ, E3 de cardinal κ⁺, alors le cardinal de E2 est soit κ, soit κ⁺

Cette fois nous sommes d'accord (une façon intuitive de le dire : "Le plus petit des plus gros")

Envoyé par mmy

C'est avec la définition ci-dessus que je (croyais) comprendre l'hypothèse du continu, pas à partir des ordinaux.

Effectivement, ce n'est pas l'hypothèse (généralisée) du continu qui elle affirme que tu peux choisir E3 = P(E1) (ensemble des parties).

Je crois comprendre que tu confonds la suite des aleph avec la suite des beth (l'hypothèse généralisée du continu affirmant que ces deux suites sont identiques).

invité576543 · 04/12/2006, 14h50

Envoyé par Médiat

Cette fois nous sommes d'accord (une façon intuitive de le dire : "Le plus petit des plus gros")

Mais dans ce cas, je ne comprends pas comment on peut parler DU cardinal $\text{[math]}$ défini comme le successeur de $\text{[math]}$ , sans préjuger de l'hypothèse du continu. Je comprend, mais je dois me tromper, l'indécidabilité de l'hypothèse du continu comme empêchant, sans axiome supplémentaire, de référer à quelque chose d'univoque sous le terme $\text{[math]}$ .

Cordialement,

invite986312212 · 04/12/2006, 15h05

il y a là:
http://www.math.harvard.edu/~mazur/p...hen_is_one.pdf
un joli papier de Barry Mazur sur la définition des entiers.

invité576543 · 04/12/2006, 15h09

Envoyé par mmy

Mais dans ce cas, je ne comprends pas comment on peut parler DU cardinal $\text{[math]}$ défini comme le successeur de $\text{[math]}$ , sans préjuger de l'hypothèse du continu. Je comprend, mais je dois me tromper, l'indécidabilité de l'hypothèse du continu comme empêchant, sans axiome supplémentaire, de référer à quelque chose d'univoque sous le terme $\text{[math]}$ .

En gros, ma question est : Que représente l'écriture $\text{[math]}$ si on refuse l'hypothèse du continu? Soit c'est aussi $\text{[math]}$ , et j'ai rien compris à l'hypothèse du continu, soit ça ne l'est pas et le symbole $\text{[math]}$ n'a pas de sens précis sans préciser le choix sur l'hypothèse du continu. Y-a-t-il une troisième possibilité?

Cordialement,

04/12/2006, 16h38

Salut mmy

Si on pose que aleph 0 est le cardinal de l'ensemble des entiers (ou des rationnels)..; ce qui ne pose problème à personne ici...
Et que aleph 1 est celui des réels...
alors la question est: existe t'il un infini intermédiaire ?...
Mais effectivement, dans ce cas il faudrait dire que le cardinal des réels est aleph 2 (par exemple)

Je crois en effet que nous sommes d'accord, et que c'est seulement dans la façon de formuler les choses que les ambiguités apparaissent...

Médiat, tu a excité ma curiosité: je n'ai jamais entendu parler des "Beths": tu peux me donner une référence (ou une explication ?)
Merci

**Médiat** · 04/12/2006, 17h38

Envoyé par mmy

Mais dans ce cas, je ne comprends pas comment on peut parler DU cardinal $\text{[math]}$ défini comme le successeur de $\text{[math]}$ , sans préjuger de l'hypothèse du continu. Je comprend, mais je dois me tromper, l'indécidabilité de l'hypothèse du continu comme empêchant, sans axiome supplémentaire, de référer à quelque chose d'univoque sous le terme $\text{[math]}$ .

Réponse diplomatique :

C'est une question de point de vue : tu considères que $\text{[math]}$ est naturel, parfaitement défini, et par conséquent, $\text{[math]}$ a une valeur qui dépend de la théorie dans laquelle on se place (ZFHC ou ZFNHC), ce qui te gène pour l'utiliser.
Je considère que $\text{[math]}$ est naturel, parfaitement défini, et par conséquent $\text{[math]}$ a une valeur qui dépend de la théorie dans laquelle on se place (ZFHC ou ZFNHC), ce qui me gène pour l'utiliser.

Justification modèle-théoriste :

La notion d'ordre, et donc de successeur, est naturelle pour les ordinaux (comme leur nom l'indique) et donc pour les cardinaux, contrairement à l'exponentiation, la suite des $\text{[math]}$ a donc plus de sens que la suite des beth.

Précision sociologique :

C'est bien parce que la suite des successeurs ( $\text{[math]}$ ) est naturelle, contrairement à la suite des puissances successives (beth), que le nombre de mathématiciens connaissant la première est beaucoup plus important que le nombre de mathématiciens connaissant la deuxième, la preuve, le Latex de FS ne connaît pas \beth

**Médiat** · 04/12/2006, 17h40

Envoyé par ambrosio

il y a là:
http://www.math.harvard.edu/~mazur/p...hen_is_one.pdf
un joli papier de Barry Mazur sur la définition des entiers.

Je n'ai pas le temps de regarder ce soir, mais je le lirai avec attention, la logique catégorique faisant aussi partie de mes centres d'intérêts.

**Médiat** · 04/12/2006, 17h50

Envoyé par quantat

Et que aleph 1 est celui des réels...
alors la question est: existe t'il un infini intermédiaire ?...
Mais effectivement, dans ce cas il faudrait dire que le cardinal des réels est aleph 2 (par exemple)

Médiat, tu a excité ma curiosité: je n'ai jamais entendu parler des "Beths": tu peux me donner une référence (ou une explication ?)

La suite des beth est très simple, mais pas très intéressante (

)elle est définie de la façon suivante :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
et pour les ordinaux limites (c'est habituel)
$\text{[math]}$

Par conséquent, HC ou non, le cardinal des réels est $\text{[math]}$ (ce qui est égal à $\text{[math]}$ avec HC, bien sur).

Dommage que \beth ne fonctionne pas ici

invité576543 · 04/12/2006, 18h10

Bonsoir,

Envoyé par Médiat

Réponse diplomatique :

Pourquoi diplomatique? Pas moyen de faire des maths?

C'est une question de point de vue : tu considères que $\text{[math]}$ est naturel, parfaitement défini, et par conséquent, $\text{[math]}$ a une valeur qui dépend de la théorie dans laquelle on se place (ZFHC ou ZFNHC), ce qui te gène pour l'utiliser.
Je considère que $\text{[math]}$ est naturel, parfaitement défini, et par conséquent $\text{[math]}$ a une valeur qui dépend de la théorie dans laquelle on se place (ZFHC ou ZFNHC), ce qui me gène pour l'utiliser.

Je n'arrive pas à être d'accord. $\text{[math]}$ peut être défini comme le cardinal des parties d'un ensemble de cardinal $\text{[math]}$ , définissable dans les deux théories, et donc a la même valeur dans les deux théories.

Justification modèle-théoriste :[INDENT]La notion d'ordre, et donc de successeur, est naturelle pour les ordinaux (comme leur nom l'indique)

Bof pour le "comme leur nom l'indique", le nom se réfère à la notion d'ordre au sein d'un ordinal, pas à l'ordre entre ordinaux.

et donc pour les cardinaux, contrairement à l'exponentiation, la suite des $\text{[math]}$ a donc plus de sens que la suite des beth.

Ca veut dire quoi "plus de sens" ? Ce sont deux suites différentes, chacune avec leur sens.

Précision sociologique :

C'est bien parce que la suite des successeurs ( $\text{[math]}$ ) est naturelle, contrairement à la suite des puissances successives (beth), que le nombre de mathématiciens connaissant la première est beaucoup plus important que le nombre de mathématiciens connaissant la deuxième, la preuve, le Latex de FS ne connaît pas \beth

Aucune difficulté pour écrire ב

Ensuite, la suite des $\text{[math]}$ pose un problème intéressant par elle-même, pas les suites des ב. Je pourrait invoquer comme argument sociologique que c'est justement l'ambiguïté de $\text{[math]}$ qui est partie du problème, et qui explique l'importance "sociologique" des $\text{[math]}$ . Mais fait-on vraiment des maths, là, ou de l'argumentation pour l'argumentation?

Cordialement,

**Médiat** · 04/12/2006, 18h34

Envoyé par mmy

Pourquoi diplomatique? Pas moyen de faire des maths?

No comment !

Envoyé par mmy

Je n'arrive pas à être d'accord. $\text{[math]}$ peut être défini comme le cardinal des parties d'un ensemble de cardinal $\text{[math]}$ , définissable dans les deux théories, et donc a la même valeur dans les deux théories.

Le successeur est définissable dans les deux théories et donc (la validité de ce "et donc" ne me saute pas aux yeux, mais c'est le tien !) a la même valeur dans les deux théories, c'est $\text{[math]}$ qui change (question de points de vue essayais-je de te faire comprendre avec diplomatie.

Envoyé par mmy

Bof pour le "comme leur nom l'indique", le nom se réfère à la notion d'ordre au sein d'un ordinal, pas à l'ordre entre ordinaux.

Quelle est la différence entre l'ordre au sein d'un ordinal et entre les ordinaux ? Je te rappelle que les cardinaux sont des ordinaux (le plus petit d'une classe d'équipotence), et que les ordinaux sont transitifs, que la récurrence sur les cardinaux fonctionne parfaitement avec la suite des aleph et non celle des beth qui n'épuise les cardinaux qu'avec l'hypothèse du continu généralisée.

Envoyé par mmy

Ca veut dire quoi "plus de sens" ? Ce sont deux suites différentes, chacune avec leur sens.

Cela veut dire "qui sert à quelque chose de pertinent dans le cadre d'une théorie"

Envoyé par mmy

Aucune difficulté pour écrire ב

Peut-être, mais pas avec LATEX : $\text{[math]}$ , mon argument reste.

Envoyé par mmy

Mais fait-on vraiment des maths, là, ou de l'argumentation pour l'argumentation?

Tu fais ce que tu veux, mais moi j'abandonne, j'essaye de t'expliquer des notions de bases que l'on trouve dans tous les bouquins sur les ordinaux et les cardinaux ; je m'explique avec diplomatie, tu préfères l'ironie : c'est ton choix !

**invite9c9b9968** · 04/12/2006, 19h06

Je crois comprendre la différence entre la définition ordinale et celle se basant sur l'hypothèse généralisée du continu : l'une est aussi valable pour les cardinaux finis (la définition ordinale, de Médiat), l'autre ne l'est pas.

C'est d'ailleurs à mon avis une des manières de voir l'hypothèse du continu non ? Cette particularité qu'a l'exponentiation de redonner les successeurs définis par les ordinaux.

invité576543 · 04/12/2006, 19h22

Envoyé par Médiat

Le successeur est définissable dans les deux théories et donc (la validité de ce "et donc" ne me saute pas aux yeux, mais c'est le tien !) a la même valeur dans les deux théories, c'est $\text{[math]}$ qui change (question de points de vue essayais-je de te faire comprendre avec diplomatie.

Un peu moins de diplomatie et plus de maths, et j'arriverai peut-être à comprendre!

Et j'aimerai bien comprendre!

OK, mon "et donc" n'est pas valable. Une autre manière de présenter la même idée, alors:

Si j'utilise $\text{[math]}$ dans le cadre d'une affirmation valable dans ZFC (et sans référence à la notion de successeur entre cardinaux, genre le cardinal de P(\mathbb{Q}) est $\text{[math]}$ ), il me semble qu'elle sera valable dans l'autre. Alors qu'il est évident (?) qu'il y a des affirmations utilisant le terme $\text{[math]}$ (et pas $\text{[math]}$ ) qui n'ont pas la même valeur de vérité dans les deux.

Pour moi cela se traduit par l'idée que l'écriture $\text{[math]}$ a un sens (opérationnel) identique dans ZFC et ZFNC, alors que je n'arrive pas à voir la même chose pour $\text{[math]}$ .

Peux-tu me trouver une affirmation utilisant $\text{[math]}$ et sans référence à l'ordre des cardinaux qui aurait des valeurs de vérité distinctes dans les deux théories?

Quelle est la différence entre l'ordre au sein d'un ordinal et entre les ordinaux ?

Je vois et le rapport et la différence! C'est dans tous les bons bouquins sur les ordinaux.

Tu fais ce que tu veux, mais moi j'abandonne, j'essaye de t'expliquer des notions de bases que l'on trouve dans tous les bouquins sur les ordinaux et les cardinaux ; je m'explique avec diplomatie, tu préfères l'ironie : c'est ton choix !

J'essaye de te dire diplomatiquement que la diplomatie ou le manque de diplomatie n'ont ni l'une ni l'autre leur place dans une telle discussion. Nul besoin de "t'y comprend rien", "j'explique avec diplomatie", "ça se trouve dans tous les bouquins", pour expliquer des maths.

Cordialement,

PS: Je pars du principe que tu dis quelque chose de clair et que je ne comprend pas, et je pose des questions, ou j'essaye d'expliquer ce que je pense être la source de mon incompréhension, pour essayer de comprendre ce que tu exprimes. Tu pars du principe que je n'écris que des conneries et que je ne comprend rien.

invité576543 · 04/12/2006, 19h29

Envoyé par Gwyddon

Je crois comprendre la différence entre la définition ordinale et celle se basant sur l'hypothèse généralisée du continu : l'une est aussi valable pour les cardinaux finis (la définition ordinale, de Médiat), l'autre ne l'est pas.

Bonsoir,

Je suis perdu, là. Qu'est-ce que tu appelles "définition ordinale"?

Cordialement,

invité576543 · 04/12/2006, 19h31

Lire ZFHC au lieu de ZFC dans mon message n-2...

**invite9c9b9968** · 04/12/2006, 19h32

Envoyé par mmy

Bonsoir,

Je suis perdu, là. Qu'est-ce que tu appelles "définition ordinale"?

Cordialement,

Celle donnée par Mediat et que tu as retranscrite avec la maximalité du cardinal entre trois ensembles E1, E2, E3 (ou alors je n'ai rien compris et je vais me coucher...)

invité576543 · 04/12/2006, 19h56

Envoyé par Gwyddon

Celle donnée par Mediat et que tu as retranscrite avec la maximalité du cardinal entre trois ensembles E1, E2, E3 (ou alors je n'ai rien compris et je vais me coucher...)

C'est sûrement moi qui n'ai rien compris.

A ce que je comprend, il y a une seule définition pour la notion de cardinal, fini ou infini, en ZFC (avec C pour choix): le cardinal d'un ensemble E est la borne inférieure des ordinaux équipotents à E. (Et l'ordre des cardinaux est l'ordre induit par celui des ordinaux.)

Et je ne crois pas qu'il y ait jamais eu de contradiction avec cette définition dans la discussion récente, si?

Cordialement,

**invite9c9b9968** · 04/12/2006, 20h01

Envoyé par mmy

C'est sûrement moi qui n'ai rien compris.

A ce que je comprend, il y a une seule définition pour la notion de cardinal, fini ou infini, en ZFC (avec C pour choix): le cardinal d'un ensemble E est la borne inférieure des ordinaux équipotents à E. (Et l'ordre des cardinaux est l'ordre induit par celui des ordinaux.)

Et je ne crois pas qu'il y ait jamais eu de contradiction avec cette définition dans la discussion récente, si?

Cordialement,

On est deux

En fait je me disais que si on reprend l'hypothèse du continu (qui me semblait "naturelle" pour définir la notion de successeur sur les cardinaux transfinis), je me suis rendu compte qu'elle n'était pas transposable aux parties finies : si un ensemble est à n éléments, l'ensemble de ses parties est à 2ⁿ éléments et il y a tout un tas de nombre cardinaux que l'on a loupé entre n et 2ⁿ.

Or ce n'est pas le cas (il me semble) avec la définition à base d'ordinaux, ou celle que tu as donnée avec la maximalité du cardinal entre trois ensemble E1, E2, E3.

Et ensuite m'est venue cette remarque que pour les cardinaux transfinis, si l'on suppose l'hypothèse généralisée du continu, le problème de louper des cardinaux, qui apparaissait dans l'études des ensembles finis, disparaît pour les transfinis, ce qui semble être sa particularité et la particularité de cette hypothèse du continu (mais tout ça c'est ma cogitation, peut-être et même sans doute que ça ne vaut rien

)

**Médiat** · 04/12/2006, 20h36

Envoyé par mmy

Si j'utilise $\text{[math]}$ dans le cadre d'une affirmation valable dans ZFC (et sans référence à la notion de successeur entre cardinaux, genre le cardinal de P(\mathbb{Q}) est $\text{[math]}$ ), il me semble qu'elle sera valable dans l'autre. Alors qu'il est évident (?) qu'il y a des affirmations utilisant le terme $\text{[math]}$ (et pas $\text{[math]}$ ) qui n'ont pas la même valeur de vérité dans les deux.

Pour moi cela se traduit par l'idée que l'écriture $\text{[math]}$ a un sens (opérationnel) identique dans ZFC et ZFNC, alors que je n'arrive pas à voir la même chose pour $\text{[math]}$ .
Peux-tu me trouver une affirmation utilisant $\text{[math]}$ et sans référence à l'ordre des cardinaux qui aurait des valeurs de vérité distinctes dans les deux théories?

Je ne vois aucun intérêt à parler des cardinaux sans parler de leur ordre puisque c'est leur définition même "un cardinal est le plus petit ordinal d'une classe d'équipotence", la notion d'ordinal elle-même étant basé sur la notion d'ordre !

Envoyé par mmy

Je vois et le rapport et la différence! C'est dans tous les bons bouquins sur les ordinaux.

Quel bouquin ? Je ne prendrai qu'un seul exemple, l'ordre entre les entiers (les ordinaux fini) est exactement l'ordre "au sein" de l'ordinal $\text{[math]}$ , c'est le principe fondateur des ordinaux !

Envoyé par mmy

Tu pars du principe que je n'écris que des conneries et que je ne comprend rien.

Fais des maths : démontre-le au lieu de l'affirmer gratuitement !

Puisque tu veux comprendre, je joue encore le jeu : je te rappelle la définition du successeur d'un cardinal : c'est le plus petit cardinal qui ne s'y injecte pas, cette définition permet, entre autres, de démontrer que tous les cardinaux ont un successeur et d'appliquer le principe de récurrence en épuisant tous les cardinaux, avec ou sans HC, cette définition et ces deux résultats me satisfont pleinement, et je ne vois aucune ambiguïté dans cette définition.

Je répète mon argument "diplomatique" : il existe deux suites de cardinaux aleph et beth, ces deux suites ne coincident pas toujours (oui dans ZFHC et non dans ZFNHC), tu choisis de dire "la suite des beth est stable et c'est les aleph qui bougent", je préfère dire le contraire, parce que c'est la suite des aleph qui a un intérêt majeur ! Il n'y a pas de "démonstration" pour choisir l'un ou l'autre, juste un aspect opérationnel, mais quoi que tu choisisses, le successeur d'un cardinal existe toujours et il est unique, c'est suffisant pour moi pour affirmer qu'il est parfaitement défini.
Le seul avantage que je connaisse de la suite des beth est qu'il est facile "d'imaginer" des ensembles ayant pour cardinal $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , etc. ; j'ai mis des guillemets à "imaginer", car j'ai du mal à visualiser un ensemble de cardinal $\text{[math]}$ qui n'est pourtant pas bien grand...

PS : L'axiome du choix est nécessaire pour beaucoup de théorèmes sur les cardinaux, mais c'est un autre débat...

**invite9c9b9968** · 04/12/2006, 21h16

On se calme Médiat, on se calme...

invité576543 · 04/12/2006, 21h41

Envoyé par Médiat

Je ne vois aucun intérêt à parler des cardinaux sans parler de leur ordre puisque c'est leur définition même "un cardinal est le plus petit ordinal d'une classe d'équipotence", la notion d'ordinal elle-même étant basé sur la notion d'ordre !

Je vois ce que tu veux dire, mais ce n'est pas fondamental dans la description du problème dont je parle, à savoir ma difficulté de compréhension portant sur la notation $\text{[math]}$ .

Quel bouquin ? Je ne prendrai qu'un seul exemple, l'ordre entre les entiers (les ordinaux fini) est exactement l'ordre "au sein" de l'ordinal $\text{[math]}$ , c'est le principe fondateur des ordinaux !

On peut définir un ordinal comme la classe d'équivalence des ensembles munis d'un bon ordre. Et c'est la définition historique, sauf erreur de ma part, celle qui est liée à la création du mot ordinal, qui renvoie à la notion de "bon ordre" d'un ensemble.

Tu réfère à une autre manière de voir les ordinaux, comme suite d'ensembles emboités, auquel cas l'ordre des ordinaux et l'ordre à l'intérieur d'un ordinal se confondent.

Les deux définitions sont dans tous les bouquins, non?

Fais des maths : démontre-le au lieu de l'affirmer gratuitement !

J'essaye, même si tu ne le reconnais pas.

Puisque tu veux comprendre, je joue encore le jeu : je te rappelle la définition du successeur d'un cardinal : c'est le plus petit cardinal qui ne s'y injecte pas, cette définition permet, entre autres, de démontrer que tous les cardinaux ont un successeur et d'appliquer le principe de récurrence en épuisant tous les cardinaux, avec ou sans HC, cette définition et ces deux résultats me satisfont pleinement, et je ne vois aucune ambiguïté dans cette définition.

Moi aussi et moi non plus! Ma difficulté porte sur $\text{[math]}$ .

il existe deux suites de cardinaux aleph et beth (...)
Le seul avantage que je connaisse de la suite des beth est qu'il est facile "d'imaginer" des ensembles ayant pour cardinal $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , etc. ; j'ai mis des guillemets à "imaginer", car j'ai du mal à visualiser un ensemble de cardinal $\text{[math]}$ qui n'est pourtant pas bien grand...

Je me limite à $\text{[math]}$ pour tout plein de raisons, et le fait que tu me fait dire que je parle de la suite des beths t'amène des arguments qui me semblent à côté.

Reprenons autrement. L'intervalle réel [0, +∞[ est muni d'un bon ordre, il correspond à un ordinal, non? Cet ordinal peut être défini dans la théorie ZFC, indépendamment de HC ou NHC, ou je me trompe? Si je me trompe là, ça m'explique mon erreur. La "stabilité" dont tu parles, je la vois (peut-être de manière erronée), dans la définition de l'ordinal de l'intervalle réel [0, +∞[, pas dans la suite des beth comme tu me le prêtes.

Notons κ cet ordinal. $\text{[math]}$ n'est alors qu'une notation alternative de κ, toujours indépendamment de HC. Me trompe-je?

Maintenant, l'affirmation $\text{[math]}$ est vraie ou fausse selon HC ou NHC, me trompe-je?

mais quoi que tu choisisses, le successeur d'un cardinal existe toujours et il est unique, c'est suffisant pour moi pour affirmer qu'il est parfaitement défini.

Cette manière d'exprimer les choses ne résoud pas la difficulté que je crois voir. Je peux exprimer par des affirmations compatibles avec celles que tu donnes, et toujours avoir la difficulté: Dans ZFHC le successeur de $\text{[math]}$ est unique et est parfaitement défini, et dans ZFNHC le successeur de $\text{[math]}$ est unique et est parfaitement défini. Mais je n'arrive pas à concilier l'indécidabilité de HC avec "Dans ZF, le successeur de $\text{[math]}$ est parfaitement défini".

Cordialement,

**Médiat** · 05/12/2006, 02h55

Envoyé par mmy

Maintenant, l'affirmation $\text{[math]}$ est vraie ou fausse selon HC ou NHC, me trompe-je?

C'est à dire $\text{[math]}$ (Le cardinal de [0, 1[ étant beth_1) est vraie ou fausse selon HC ou NHC, ou encore HC est vraie ou fausse selon HC ou NHC, je ne suis pas sur que cela fasse avancer le débat.

Que l'on choisisse la définition de Cantor (classe d'isomorphisme de bons ordres) ou celle plus moderne de Von Neumann (ensembles transitifs qui sont des bons ordres pour l'inclusion, ce qui revient à choisir un représentant particulier de chaque classe), ce qui est définition dans l'une devient théorème dans l'autre et vice versa (sauf que la difficulté de manipulation n'est pas la même, merci M. Von Neumann)... Je pense que depuis longtemps, la définition de Cantor n'a plus qu'un intérêt historique.

Dans ZFHC $\text{[math]}$ (c'est à dire beth_1) est unique et parfaitement défini, dans ZFNHC $\text{[math]}$ est unique et parfaitement défini, mais dans un cas il est égal à $\text{[math]}$ et pas dans l'autre, j'aurais pu ajouter : je n'arive pas à concilier l'indécidabilité de HC avec "Dans ZF, $\text{[math]}$ est parfaitement défini" puisque de temps en temps égal à $\text{[math]}$ et de temps en temps non. C'est une question de point de vue. Je commence à me demander si pour toi $\text{[math]}$ n'est pas tout aussi "calculable" que $\text{[math]}$ , si, pour toi, le cardinal de P(A) (ensemble des parties) n'est pas une évidence stable, solide et indiscutable alors que la notion de successeur est moins tangible, et bien pour moi c'est le contraire, parce que cette dernière notion est plus riche (ne serait-ce que pour le principe de récurrence).
On peut continuer longtemps comme cela :
"Le cardinal d'un ensemble c'est le cardinal d'un ensemble que l'on soit dans ZFHC ou ZFNHC, donc c'est beth_1 qui est stable et $\text{[math]}$ qui est mal défini"
non, non : "Le successeur d'un cardinal c'est le successeur d'un cardinal, que l'on soit dans ZFHC ou ZFNHC, donc c'est $\text{[math]}$ qui est stable et beth_1 qui est mal défini"
Encore une fois c'est une question de point de vue, il se trouve que tous les logiciens utilisent la suite des aleph et pas la suite des beth, la raison résidant dans le caractère opérationnel de la première (le principe de récurrence), mais rien ne t'interdit de faire le contraire.
A tout hasard : si il existe des modèles de ZFC alors il en existe un qui est dénombrable (théorème de Lowenheim–Skolem), est-ce que dans ce modèle $\text{[math]}$ est toujours aussi clair ?

Et "je ne te fais pas parler de la suite des beth", tu en parles, puisque beth_1 = $\text{[math]}$ , et que tu parles de $\text{[math]}$ .

invité576543 · 05/12/2006, 08h51

Bonjour,

Envoyé par Médiat

Je commence à me demander si pour toi $\text{[math]}$ n'est pas tout aussi "calculable" que $\text{[math]}$ , si, pour toi, le cardinal de P(A) (ensemble des parties) n'est pas une évidence stable, solide et indiscutable alors que la notion de successeur est moins tangible, et bien pour moi c'est le contraire, parce que cette dernière notion est plus riche (ne serait-ce que pour le principe de récurrence).

Tu utilises les mots "tangible", "riche", qui pour moi ne sont pas vraiment adaptés.

"calculable" n'est pas non plus le terme que j'ai employé. Plus simplement "défini". Dans ma compréhension, les affirmations vraies dans ZF, ZFHC et ZFNHC ne sont pas les mêmes. Dans l'assertion " $\text{[math]}$ , les deux termes ont un rôle symétrique, et cela entraîne tout un pan d'assertions où elles ont un rôle symétrique. C'est de cela dont tu parles, et cela ne pose pas de problème.

Ma difficulté, auquelle tu ne réponds toujours pas, c'est cette impression que l'ensemble des parties de N est bien défini dans ZF, et donc (?) que son cardinal devrait l'être aussi, et donc (?) que ce cardinal est utilisable dans des assertions décidables dans ZF (i.e., indépendamment de HC). Dans ZF, il me semble que l'on peut (?) démontrer par exemple que le cardinal d'un ensemble E est $\text{[math]}$ en exhibant une bijection avec les parties de N. Je n'ai pas d'exemple; s'il y a une raison pour que ce soit impossible (i.e., HC devra intervenir d'une manière ou d'une autre), cela éclairerait mon problème.

La différence que je crois voir, et c'est peut-être ce que tu cherches à exprimer, est que l'on peut exhiber dans ZF un ensemble, et calculer au moins DES éléments de cet ensemble de cardinal $\text{[math]}$ , même si on ne peut pas les calculer tous, (et dans le cas de R, on peut dire qu'on l'utilise assez couramment!), alors que je ne connais rien de similaire pour $\text{[math]}$ .

A tout hasard : si il existe des modèles de ZFC alors il en existe un qui est dénombrable (théorème de Lowenheim–Skolem), est-ce que dans ce modèle $\text{[math]}$ est toujours aussi clair ?

Ce que tu cites vient de la théorie des modèles et se limite à la logique du premier ordre. Le théorème n'est pas valable avec la logique du deuxième ordre, ai-je cru comprendre. Je n'y connais pas assez, mais je pose la question si les notions que l'on manipule dans cette discussion se limitent à la logique du premier ordre? Il me semble, par exemple, que la notion de récurrence est du deuxième ordre?

Cordialement,

**Médiat** · 05/12/2006, 09h50

Envoyé par mmy

c'est cette impression que l'ensemble des parties de N est bien défini dans ZF, et donc (?) que son cardinal devrait l'être aussi,

Un zèbre est-il blanc rayé de noir ou noir rayé de blanc ? Pour les zèbre je n’en n’ai aucun idée (la question a-t-elle un sens ?), pour moi les définitions de successeur et d’exponentiation sont aussi claires et rigoureuses l’une que l’autre, je préfère le successeur car c’est une notion très utile, mais je n’en déduis pas que l’exponentiation est mal définie, tu préfères l’exponentiation, c’est ton droit (comme je le dis depuis le début), mais ce n’est pas pour autant que le successeur est mal défini.

Envoyé par mmy

Ce que tu cites vient de la théorie des modèles et se limite à la logique du premier ordre. Le théorème n'est pas valable avec la logique du deuxième ordre, ai-je cru comprendre. Je n'y connais pas assez, mais je pose la question si les notions que l'on manipule dans cette discussion se limitent à la logique du premier ordre? Il me semble, par exemple, que la notion de récurrence est du deuxième ordre?

ZF est une théorie du premier ordre et le principe d’induction (récurrence) s’exprime très bien dans la logique du premier ordre (c’est un schéma).

**invite4793db90** · 05/12/2006, 10h00

Salut,

Envoyé par mmy

Ma difficulté, auquelle tu ne réponds toujours pas, c'est cette impression que l'ensemble des parties de N est bien défini dans ZF, et donc (?) que son cardinal devrait l'être aussi, et donc (?) que ce cardinal est utilisable dans des assertions décidables dans ZF (i.e., indépendamment de HC).

La définition des cardinaux ne fait pas appel à HC, donc on peut en effet parler dans ZF du cardinal $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ . On peut aussi dire que $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$ . Quand on parle de $\text{[math]}$ comme le plus petit cardinal strictement supérieur à $\text{[math]}$ , il faut montrer son existence et ceci peut se faire dans ZF.

Dans ZF, il me semble que l'on peut (?) démontrer par exemple que le cardinal d'un ensemble E est $\text{[math]}$ en exhibant une bijection avec les parties de N. Je n'ai pas d'exemple; s'il y a une raison pour que ce soit impossible (i.e., HC devra intervenir d'une manière ou d'une autre), cela éclairerait mon problème.

On peut en effet démontrer que $\text{[math]}$ a pour cardinal $\text{[math]}$ . Ce que l'on ne peut pas faire c'est montrer que toutes les parties non dénombrables de $\text{[math]}$ ont aussi pour cardinal $\text{[math]}$ (ce qui est HC).

Tout ce que je viens de dire n'est pas parole d'évangile, aussi n'hésitez pas à me reprendre.

Cordialement.

05/12/2006, 12h13

Envoyé par Médiat

La suite des beth est très simple, mais pas très intéressante (

)elle est définie de la façon suivante :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
et pour les ordinaux limites (c'est habituel)
$\text{[math]}$

Par conséquent, HC ou non, le cardinal des réels est $\text{[math]}$ (ce qui est égal à $\text{[math]}$ avec HC, bien sur).

Dommage que \beth ne fonctionne pas ici

Salut média

j'ai pas bien compris: les beth sont ils des ordinaux ou des cardinaux ?
Comment sont ils construits (soit à partir des omégas soit des alephs)

Si ça t'ennuie, dis moi simplement si tu connais une référence accessible

merci

**Médiat** · 05/12/2006, 13h00

Envoyé par quantat

j'ai pas bien compris: les beth sont ils des ordinaux ou des cardinaux ?
Comment sont ils construits (soit à partir des omégas soit des alephs)

Salut quantat,

Les beth sont des cardinaux (c'est dire des ordinaux pariculiers, si l'on veut), ils sont construits à partir de $\text{[math]}$ qui est le cardinal de $\text{[math]}$ (en fait on peut construire une suite de beth à partir de n'importe quel cardinal $\text{[math]}$ , il suffit de remplacer $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ dans la définition).

Lorsque j'ai parlé d'ordinal limite dans la définition, c'est en parlant de $\text{[math]}$ , l'indice de la suite, et non l'élément de la suite.

Je ne suis pas certain que tu trouves beaucoup de littérature au sujet des beth, car c'est la suite des aleph qui est intéressante, et cela ne me dérange pas de répondre à tes questions, tant que je peux.

Cordialement

Médiat

invité576543 · 05/12/2006, 14h13

Envoyé par martini_bird

Tout ce que je viens de dire n'est pas parole d'évangile, aussi n'hésitez pas à me reprendre.

Bonjour,

Mais au moins je comprend! Merci pour ces confirmations.

Cordialement,

**Médiat** · 05/12/2006, 15h01

Envoyé par martini_bird

La définition des cardinaux ne fait pas appel à HC, donc on peut en effet parler dans ZF du cardinal $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ ....

Un détail : il me semble que l'axiome du choix est nécessaire pour avoir des résultats intéressants sur les cardinaux (sinon on n'est pas sur que tout ensemble soit idempotent avec un ordinal), la bonne théorie pour parler des cardinaux est donc ZFC (ZF + axiome du choix).

**invite4793db90** · 05/12/2006, 21h33

Salut,

il me semble que l'axiome du choix est nécessaire pour avoir des résultats intéressants sur les cardinaux

La question est de savoir si on a assez avec ZF pour définir $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Il me semble que oui.

Ceci étant, je veux bien croire qu'avec HC les choses sont plus simples. Mais ça me paraîtrait bizarre qu'on en ait absolument besoin pour définir les premiers cardinaux transfinis, sachant que ZF+C et ZF+non C sont toute les deux aussi valides que ZF l'est.*

Cordialement.

PS : J'ajouterais même que si j'ai bien compris on pourrait imaginer une théorie valide (comprendre : autant que ZF) en posant $\text{[math]}$ . Si je me trompe, n'hésitez pas !

**Médiat** · 06/12/2006, 05h49

Envoyé par martini_bird

Ceci étant, je veux bien croire qu'avec HC les choses sont plus simples. Mais ça me paraîtrait bizarre qu'on en ait absolument besoin pour définir les premiers cardinaux transfinis, sachant que ZF+C et ZF+non C sont toute les deux aussi valides que ZF l'est.

Bonjour,
Il me semble qu'une définition d'un cardinal est : "le plus petit ordinal d'une classe d'équipotence", or l'existence d'un ordinal dans une telle classe est soumise à AC, ce qui veut dire que même si on choisit une autre définition (par exemple un cardinal est un ordinal qui n'est en bijection avec aucun autre ordinal plus petit), rien ne garantit que si un ensemble $\text{[math]}$ est bien-ordonnable (son cardinal existe) alors $\text{[math]}$ est bien-ordonnable (son cardinal existe) ; par exemple le cardinal de $\text{[math]}$ n'existe peut-être pas (or il s'agit de $\text{[math]}$ ).

Sauf erreur ou omission

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