Entier infini ?

invité576543 · 06/12/2006, 10h22

Bonjour,

Juste une question.

La notion de nombre cardinal est présentée à partir des nombres ordinaux.

Mais ne peut-on pas définir une notion de cardinal comme classe d'équivalence pour l'équipotence sans l'axiome du choix ou son contraire?

Une telle notion de cardinal est vraisemblablement plus limitée que celle de nombre cardinal (qui hérite des opérations sur les ordinaux), mais on peut y retrouver les entiers, et munir la notion de cardinal d'une addition compatible avec celle des entiers par Card(E1)+Card(E2) = Card(E1x{Ø} U E2x{{Ø}})

Le cardinal de l'ensemble des parties de N est alors défini, non?

Cordialement,

**invite4793db90** · 06/12/2006, 10h39

Envoyé par Médiat

Bonjour,
Il me semble qu'une définition d'un cardinal est : "le plus petit ordinal d'une classe d'équipotence", or l'existence d'un ordinal dans une telle classe est soumise à AC, ce qui veut dire que même si on choisit une autre définition (par exemple un cardinal est un ordinal qui n'est en bijection avec aucun autre ordinal plus petit), rien ne garantit que si un ensemble $\text{[math]}$ est bien-ordonnable (son cardinal existe) alors $\text{[math]}$ est bien-ordonnable (son cardinal existe) ; par exemple le cardinal de $\text{[math]}$ n'existe peut-être pas (or il s'agit de $\text{[math]}$ ).

Sauf erreur ou omission

Salut,

pfff, quel boulet : j'ai lu hypothèse du continu à la place d'axiome du choix...

Bref, dans ce cas, je ne sais pas du tout si on peut avoir l'existence de $\text{[math]}$ dans ZF, et il est probable que non vu la définition que tu donnes.

Cordialement.

**invite4793db90** · 06/12/2006, 10h41

Envoyé par mmy

Le cardinal de l'ensemble des parties de N est alors défini, non?

Je pense que oui, on aura bien $\text{[math]}$ , mais je sais pas si on peut définir $\text{[math]}$ dans ce cadre.

Cordialement.

**Médiat** · 06/12/2006, 18h10

Envoyé par mmy

Mais ne peut-on pas définir une notion de cardinal comme classe d'équivalence pour l'équipotence sans l'axiome du choix ou son contraire ?

On peut, bien sur, mais j'ai du mal à appeler cela un cardinal, il faudrait vérifier un minimum de propriétés pour cela, en particulier, donner une définition de l'addition de la multiplication, de l'exponentiation (tant que ce n'est pas fait, la notation $\text{[math]}$ est un peu optimiste) ; bien sur donner une définition cela sous-entend de démontrer que ces définitions ont un sens (même résultat quelque soit le représentant de la classe choisi et sans utiliser l'axiome du choix, bien sur). Je ne dis pas que cela ne marche pas, je dis juste qu'il faut le faire.

Quant à $\text{[math]}$ , j'ai peur que martini_bird ait raison : il ne doit pas être définissable.

En tout état de cause il y a un défaut que je trouve majeur : si on définit la relation d'ordre habituelle Card(A) < Card(B) ssi A s'injecte dans B, mais B pas dans A, cette relation d'ordre (et il faudrait le démontrer) n'est pas un ordre total, et plus encore : que cet ordre soit total est équivalent à l'axiome du choix !

invité576543 · 06/12/2006, 18h29

Bonsoir,

La difficulté de compréhension que je cherche (cherchais...) à expliquer est liée à l'idée que ce que l'on peut affirmer sur les cardinaux change en fonction des axiomes choisis.

Envoyé par Médiat

On peut, bien sur, mais j'ai du mal à appeler cela un cardinal, il faudrait vérifier un minimum de propriétés pour cela

Oui

, en particulier, donner une définition de l'addition de la multiplication, de l'exponentiation

Pas nécessairement. On a juste un concept plus limité que dans le cas ZFC.

(tant que ce n'est pas fait, la notation $\text{[math]}$ est un peu optimiste) ;

Bien pour cela que j'ai parler du cardinal de l'ensemble des parties de N, et pas de cettte notation. Et quand bien même, on peut toujours définir la notation exponentielle comme celle du cardinal de l'ensemble des parties, tout en interdisant toute "artihmétique" sur les cardinaux. L'optimisme d'une notation m'échappe!

bien sur donner une définition cela sous-entend de démontrer que ces définitions ont un sens (même résultat quelque soit le représentant de la classe choisi et sans utiliser l'axiome du choix, bien sur). Je ne dis pas que cela ne marche pas, je dis juste qu'il faut le faire.

Ma question était si cela avait été fait.

Quant à $\text{[math]}$ , j'ai peur que martini_bird ait raison : il ne doit pas être définissable.

Ce n'est pas une question de "peur". Le constat qu'il n'est pas définissable sans l'axiome du choix est un point intéressant en lui-même, non?

En tout état de cause il y a un défaut que je trouve majeur (...)

Je n'arrive pas à comprendre la notion de "défaut" dans un tel cadre. Si la définition proposée marche, et bien, il n'y a pas de bon ordre définissable sur les cardinaux dans ZF, peut-être même seulement un ordre partiel. Ce n'est pas un "défaut", c'est comme ça et c'est tout.

Cordialement,

**Médiat** · 06/12/2006, 19h32

Je ne réponds pas aux messages sur ce ton, je regrette d'avoir perdu mon temps à te répondre et à essayer de te faire comprendre quelque chose sur ZF, ZFC, les ordinaux et les cardinaux.
Point final !

invité576543 · 06/12/2006, 19h54

Envoyé par Médiat

Je ne réponds pas aux messages sur ce ton, je regrette d'avoir perdu mon temps à te répondre et à essayer de te faire comprendre quelque chose sur ZF, ZFC, les ordinaux et les cardinaux.
Point final !

Milles excuses, il n'est pas clair pour moi à quel ton tu fais allusion. S'il y a quelque chose dans mon texte qui a heurté ta susceptibilité, mets cela sur ma méconnaissance de cette susceptibilité.

Tu me traites continuellement comme un imbécile, cela ne m'empêche pas de répondre aux messages...

Cordialement,

invité576543 · 06/12/2006, 21h30

Bonsoir,

Pour revenir au sujet, on trouve des traces sur le net (pas le temps d'aller à la bibli!) d'une définition de la notion de cardinal à partir de ZF, sans l'axiome du choix, donc sans référence aux ordinaux.

Etre équipotent est une relation d'équivalence, ce qui suffit à définir la notion de cardinal.

L'existence d'un ordre partiel basé sur l'injection est démontrée facilement, sauf la symétrie qui est le théorème de Cantor-Bernstein, qui ne demande pas l'axiome du choix.

On a juste une notion de classes d'équivalence munies d'un ordre partiel, mais ça suffit pour la suite.

En ajoutant à ZF l'axiome de l'infini, on peut parler du cardinal de N, et le théorème de Cantor implique, toujours sans l'axiome du choix, que le cardinal de l'ensemble des parties de N est strictement plus grand que le cardinal de N, au sens de l'ordre partiel défini par les injections.

Jusque là, ça semble corroboré par des textes trouvés à droite ou à gauche sur le net.

Sur cette base, une question que je pose est si l'hypothèse du continu peut s'exprimer sans l'axiome du choix, donc références aux ordinaux, comme l'inexistence d'un ensemble E tel que card(N) < card(E) < card(P(N)), au sens de l'ordre partiel défini par les injections ??

Cordialement,

**invite4793db90** · 06/12/2006, 21h48

Sur cette base, une question que je pose est si l'hypothèse du continu peut s'exprimer sans l'axiome du choix, donc références aux ordinaux, comme l'inexistence d'un ensemble E tel que card(N) < card(E) < card(P(N)), au sens de l'ordre partiel défini par les injections ??

Je n'y vois pas d'opposition : c'est comme ça que les choses m'ont été présentées.

Cordialement.

inviteb47fe896 · 07/12/2006, 10h07

L'ensemble des rationnels est dénombrable ; cela résulte de la possibilité d'établir un ordre total qui permette une bijection avec IN ; le problème est de savoir s'il existe d'autres "ordres totaux" qui permettent aussi une bijection avec IN ; dans ce cas où serait l'infini ?

**Médiat** · 07/12/2006, 18h54

Envoyé par eirtemoeg

le problème est de savoir s'il existe d'autres "ordres totaux" qui permettent aussi une bijection avec IN ; dans ce cas où serait l'infini ?

Je ne comprends pas bien ce que tu veux dire, il existe beaucoup (une infinité) d'ordre totaux qui sont en bijection avec IN...

**invite4793db90** · 07/12/2006, 19h57

Salut,

L'ensemble des rationnels est dénombrable ; cela résulte de la possibilité d'établir un ordre total qui permette une bijection avec IN ;

Je ne suis pas convaincu du lien logique entre ces deux propositions...

Cordialement.

**Médiat** · 07/12/2006, 20h13

Envoyé par martini_bird

Je ne suis pas convaincu du lien logique entre ces deux propositions...

Je me suis dit qu'établir une bijection avec IN cela revenait à induire un ordre (qui se trouve être total entre autres propriétés), et à démontrer que l'ensemble est dénombrable, j'ai supposé que c'est ce que voulait dire eirtemoeg, même si c'est une façon confuse de dire les choses. Ce uq ej en comprends pas du tout c'est l'autre moitié de la phrase...

**invite309928d4** · 07/12/2006, 21h53

Envoyé par mmy

(...)
Sur cette base, une question que je pose est si l'hypothèse du continu peut s'exprimer sans l'axiome du choix, donc références aux ordinaux, comme l'inexistence d'un ensemble E tel que card(N) < card(E) < card(P(N)), au sens de l'ordre partiel défini par les injections ??

Cordialement,

Salut,
d'après ce qui est dit sur cette page, si on admet l'hypothèse du continu généralisé alors l'axiome du choix est démontrable.
Est-ce à dire que si on prend cette hypothèse, on prend l'axiome du choix ?

invite2ac85754 · 07/12/2006, 23h27

Envoyé par bardamu

Salut,
d'après ce qui est dit sur cette page, si on admet l'hypothèse du continu généralisé alors l'axiome du choix est démontrable.
Est-ce à dire que si on prend cette hypothèse, on prend l'axiome du choix ?

Je crois bien que oui, ce qu'on voit (heuristiquement

) de la manière suivante.
Un classique consiste à voir que dans ZF l'axiome du choix équivaut à affirmer que tout ensemble peut être muni d'un bon ordre.
Il me semble que tout sous-ensemble d'un ensemble bien ordonné admet un bon ordre (l'ordre induit: en effet, si E est bien ordonné, et si F est sous-ensemble de E, toute partie non vide de F est une partie non-vide de E, et donc admet un élément minimal), et il est facile de voir que tout ensemble se plonge dans l'ensemble de ses parties. Par conséquent, pour montrer que tout ensemble admet un bon ordre, il suffit de prouver pour tout ensemble E, l'ensemble des partides de E admet un bon ordre.
Ainsi, si on admet l'hypothèse du continu généralisée, comme tous les $\text{[math]}$ sont en particulier des ordinaux, on en déduit que tout ensemble admet un bon ordre (il y a une petite induction transfinie qui est cachée ici, et qu'il faut faire très proprement, mais c'est l'idée).

inviteb47fe896 · 08/12/2006, 02h30

Je précise : si dans un ensemble tout élément a un successeur on n'est pas forcément dans IN ; on a simplement une suite d'éléments. Si on peut mettre en évidence une suite qui "tourne en rond" alors il n'y a plus d'infini. Ce qui manque alors pour IN c'est d'avoir un premier élément.

invité576543 · 08/12/2006, 06h10

Bonjour,

Envoyé par specieuse

(...)

Je ne comprend pas la démo.

Par conséquent, pour montrer que tout ensemble admet un bon ordre, il suffit de prouver pour tout ensemble E, l'ensemble des parties de E admet un bon ordre.

Oui

Ainsi, si on admet l'hypothèse du continu généralisée, comme tous les $\text{[math]}$ sont en particulier des ordinaux, on en déduit que tout ensemble admet un bon ordre (il y a une petite induction transfinie qui est cachée ici, et qu'il faut faire très proprement, mais c'est l'idée).

Je ne comprend pas le "on en déduit". Si la seule raison pour laquelle l'ensemble des parties de E admet un bon ordre est que son cardinal correspond à un ordinal, la démo semble circulaire puisque c'est l'axiome du choix qui intervient usuellement pour affirmer cela.

Pour qu'il y ait une démo, il faudrait montrer "pour tout ensemble E, l'ensemble des parties de E admet un bon ordre" sans l'axiome du choix, montrer que les ensembles de parties d'un ensemble ont une propriété particulière par rapport aux autres ensembles, propriété leur permettant d'être muni d'un bon ordre. Ce n'est pas fait dans la démo.

Et je ne vois pas bien où intervient l'hypothèse du continu généralisé, qui postule une absence, une absence de cardinal strictement entre celui de E et de P(E). Où intervient cette absence dans la démo?

Cordialement,

**Médiat** · 13/12/2006, 19h51

Envoyé par mmy

Pour qu'il y ait une démo, il faudrait montrer "pour tout ensemble E, l'ensemble des parties de E admet un bon ordre" sans l'axiome du choix, montrer que les ensembles de parties d'un ensemble ont une propriété particulière par rapport aux autres ensembles, propriété leur permettant d'être muni d'un bon ordre. Ce n'est pas fait dans la démo.

J'aimerais bien avoir la réponse moi aussi...

**invite35452583** · 14/12/2006, 11h21

Envoyé par eirtemoeg

Je précise : si dans un ensemble tout élément a un successeur on n'est pas forcément dans IN ; on a simplement une suite d'éléments. Si on peut mettre en évidence une suite qui "tourne en rond" alors il n'y a plus d'infini. Ce qui manque alors pour IN c'est d'avoir un premier élément.

Bonjour,
je pense qu'il y a au moins un manque de précision.
Dans tout ordinal infini, tout élément a un successeur.

**invite35452583** · 14/12/2006, 12h05

Envoyé par mmy

Pour qu'il y ait une démo, il faudrait montrer "pour tout ensemble E, l'ensemble des parties de E admet un bon ordre" sans l'axiome du choix, montrer que les ensembles de parties d'un ensemble ont une propriété particulière par rapport aux autres ensembles, propriété leur permettant d'être muni d'un bon ordre. Ce n'est pas fait dans la démo.

Et je ne vois pas bien où intervient l'hypothèse du continu généralisé, qui postule une absence, une absence de cardinal strictement entre celui de E et de P(E). Où intervient cette absence dans la démo?

Cordialement,

Je pense que l'idée de spécieuse est que :
1) si on peut munir E d'un bon ordre alors on peut munir P(E) d'un bon ordre

2) la limite d'ensemble que l'on peut bien ordonner est un ensemble que l'on peut bien ordonner

Ainsi, l'HC généralisée affirmant l'absence d'ensemble strictement compris entre E et P(E) aboutit moyennant une induction transfinie à tout ensemble peut être bien ordonné. (à mon humble avis, il faut ajouter l'axiome d'accessibilité pour que ça marche en fait)

Mais il me semble que cette idée se bute à un problème : si 1) était vrai je crois que ça se saurait

Je n'ai pas trouvé d'infirmation claire et nette de ce résultat mais voilà pourquoi je me dis que "ça se saurait".
ZF+axiome de l'infini permet de définir IN et w. On peut définir P(N) (les parties d'un ensemble est un ensemble "chez" ZF). Et, il n'y a nul besoin d'AC pour définir IR. Et, AC n'est toujours pas utile pour montrer qu'il existe une bijection entre P(IN) et IR. Ainsi Si cette implication était vraie il serait alors prouvé que ZF+axiome de l'infini=>existence de IR+IR peut être bien ordonné=>P(IR) existe et peut être bien ordonné. Il y aurait largement "assez" pour établir une très grande majorité de résultats (en analyse, en topologie... les applications concrètes "dépassent" rarement ce type d'ensemble) sans AC. Le paradoxe de Banach-Tarski ne nécéssiterait pas l'AC...

Néanmoins le lien donné par Bardamu semble sérieux et il reste que HCG=>AC (j'en reste pantois). Je pense plutôt que la raison est non pas l'implication 1) (cf. ci-avant) mais qu'il est possible de définir par induction aleph1 (me demander pas comment

dans ce domaine j'essaie de comprendre sans me taper plusieurs centaines de pages de théorie des ensembles

mais on peut toujours construire une ensemble plus grand qui n'a pas nécessairement un bon ordre mais peut servir à définir un ordinal plus grand, un successeur chez les ordinaux en fait, à partir d'un autre ordinal). Maintenant, HCG disant que aleph1 est en bijection avec P(N), ce dernier peut donc être bien ordonné. Le résultat sur la limite (cf. 2)) me semble plus facile à établir. Néanmoins, là aussi il y a un trou béant dans ma compréhension du résultat ZF+HCG=>ZF+AC c'est que ce résultat (en tout cas dans le lien cité) ne semble pas requérir l'axiome d'accessibilité.

Conclusion : si quelqu'un peut éclaircir ces points, merci d'avance

inviteb47fe896 · 14/12/2006, 17h03

Envoyé par homotopie

Bonjour,
je pense qu'il y a au moins un manque de précision.
Dans tout ordinal infini, tout élément a un successeur.

On a une suite infinie mais il n'y a pas "d'infini" au sens où il n'y a aucun successeur.

**invite35452583** · 14/12/2006, 17h16

Envoyé par eirtemoeg

On a une suite infinie mais il n'y a pas "d'infini" au sens où il n'y a aucun successeur.

C'est le fait que l'on ait IN si tout élément a un successeur+un premier élément que je trouve un peu imprécis. On a alors un sous-ensemble ordonné isomorphe à IN mais l'ensemble ordonné lui-même peut être plus grand même en terme de "cardinal" (ici, en classe d'équipotence d'ensemble).

inviteb47fe896 · 14/12/2006, 21h01

C'est la définition même de IN ( Construction de Peano).
IR qui est totalement ordonné a une puissance supérieure à celle de IN, bien sûr ; mais IR a la puissance du continu. On sait que tout ensemble dont la puissance est supérieur à celle de IN a au moins la puissance de IR. On sait de plus que quelle que soit la puissance d'un ensemble il existe toujours un ensemble dont la puissance est supérieure à celle de l'ensemble donné. Je pense cependant que cette remarque n'entre pas dans le cadre du sujet initial de cette discussion.

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